Cara Pilar Membuktikan Rumus Luas Segitiga Jika Diketahui Panjang Ketiga Sisi
Jadi ceritanya tugas Membuktikan Rumus Luas Segitiga Jika Diketahui Panjang Ketiga Sisinya ini adalah tugas mandiri karena saya harus meninggalkan kelas alias absen. Untuk menghindari ketertinggalan materi atau kelas yang tidak beraturan meskipun guru tidak ada, maka meninggalkan tugas bisa menjadi alternatif pilihan. Tetapi tugas mandiri yang diberikan secara manual dan bisa dikerjakan secara individu atau bersama teman-teman, adalah pilihan terbaik yang bisa dilakukan jika guru akan meninggalkan kelas karena sesuatu urusan yang penting. Tetapi jika di sekolah sudah didukung oleh program belajar online dimana kelas bisa dikontrol oleh guru, meskipun guru tidak ada di kelas maka untuk meninggalkan kelas tidak lagi menjadi masalah.
Kembali kepada cerita kita bagaimana para senior di matematik menemukan rumus luas segitiga jika diketahui panjang ketiga sisinya. Tugas mandiri yang saya tinggalkan ada beberapa soal, penampakannya kurang lebih seperti berikut ini;
1. Tentukan luas segitiga $ABC$ jika diketahui sisi $BC=4\ cm$, $AC=7 \sqrt{3}\ cm$, dan $\angle C=60^{\circ}$
Pada segitiga $ABC$ diketahui sisi $BC=4$, $AC=7 \sqrt{3}$ dan $\angle C=60^{\circ}$. Unsur-unsur yang diketahui yaitu dua sisi satu sudut dimana sudut yang diketahui adalah sudut yang dibentuk oleh dua sisi yang diketahui juga.
Dari unsur-unsur yang diketahui, kita dapat menghitung luas dengan aturan menghitung luas segitiga jika diketahui dua sisi satu sudut yaitu $L=\frac{1}{2}\ ab\ sin\ C$
$[ABC]=\ \frac{1}{2}\times 4 \times 7\sqrt{3} sin\ 60^{\circ}$
$[ABC]=\ \frac{1}{2}\times 4 \times 7\sqrt{3} \frac{1}{2}\sqrt{3}$
$[ABC]=\ \frac{1}{4}\times 4 \times 7\sqrt{9}$
$[ABC]=\ 21$ dalam satuan luas.
2. Sebuah segitiga $ABC$ diketahui luasnya $18\ cm^{2}$. Jika panjang sisi $BC=4\ cm$ dan $AB=6 \sqrt{3}\ cm$, maka tentukanlah besar $\angle B= \cdots$
Pada segitiga $ABC$ diketahui luasnya $18\ cm^{2}$, panjang sisi $BC=4$, dan $AB=6 \sqrt{3}$. Unsur-unsur yang diketahui yaitu dua sisi dan luas segitiga dan kita diminta menghitung sudut yang dibentuk oleh dua sisi yang diketahui juga.
Dari unsur-unsur yang diketahui, kita dapat menggunakan aturan menghitung luas segitiga jika diketahui dua sisi satu sudut yaitu $L=\frac{1}{2}\ ab\ sin\ C$
$[ABC]=\ \frac{1}{2}\times BC \times AB sin\ B$
$18= \frac{1}{2}\times 4 \times 6\sqrt{3} sin\ B$
$18=\ 12 \sqrt{3} sin\ B$
$\frac{18}{12 \sqrt{3}}=\ sin\ B$
$\frac{3}{2 \sqrt{3}}=\ sin\ B$
$\frac{1}{2}\sqrt{3}=\ sin\ B$
Tanpa menggunakan kalkulator kita mengetahui besar $\angle B$ karena $\angle B$ masih tergolong sudut istimewa yaitu $60^{\circ}$.
3. Diketahui segitiga $PQR$, dengan luas segitiga $PQR$ adalah $12 \sqrt{3}\ cm^{2}$. Jika panjang $PR=6\ cm$ dan sisi $PQ=8\ cm$, maka tentukanlah panjang sisi QR.
Pada segitiga $PQR$ diketahui luasnya $12 \sqrt{3}\ cm^{2}$, panjang sisi $PR=6$, dan $PQ=8$. Unsur-unsur yang diketahui yaitu dua sisi dan luas segitiga dan kita diminta menghitung panjang sisi di depan sudut yang dibentuk oleh dua sisi yang diketahui.
Dari unsur-unsur yang diketahui, kita dapat menggunakan aturan menghitung luas segitiga jika diketahui dua sisi satu sudut yaitu $L=\frac{1}{2}\ ab\ sin\ C$
$[PQR]=\ \frac{1}{2}\times PR \times PQ sin\ P$
$12 \sqrt{3}= \frac{1}{2}\times 6 \times 8 sin\ P$
$\frac{12 \sqrt{3}}{24}=\ sin\ P$
$\frac{1}{2} \sqrt{3}=\ sin\ P$
Tanpa menggunakan kalkulator kita mengetahui besar $\angle P$ karena $\angle P$ masih tergolong sudut istimewa yaitu $60^{\circ}$.
Karena $\angle P=60^{\circ}$ maka kita dapat menghitung $cos\ P$ yaitu \frac{1}{2}. Kita membutuhkan $cos\ P$ untuk menghitung panjang sisi $QR$ dengan bantuan aturan cosinus yaitu $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\ cos\ A$
$QR^{2}=PR^{2}+PQ^{2}-2PR \times PQ\ cos\ P$
$QR^{2}=6^{2}+8^{2}-2 \times 6 \times 8 \times \frac{1}{2}$
$QR^{2}=100-48$
$QR=\sqrt{52}$
4. Tentukan luas segitiga $PQR$, jika diketahui panjang sisi $PQ=5\ cm$, $PR=7\ cm$, dan $QR=8\ cm$.
Pada segitiga $PQR$ diketahui panjang ketiga sisinya, untuk menghitung luasnya kita gunakan aturan $[ABC]=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ dimana $s=\frac{1}{2}(a+b+c)$.
$s=\frac{1}{2}(a+b+c)=\frac{1}{2}(5+7+8)=10$
$[ABC]=\sqrt{10(10-5)(10-7)(10-8)}$
$[ABC]=\sqrt{10(5)(3)(2)}$
$[ABC]=10\sqrt{3}$
5. Hitunglah luas segienam beraturan $ABCDEF$ yang panjang sisi-sisinya $4\ cm$.
Pada soal disampaikan adalah segienam beraturan, jika kita coba ilustrasikan soal diatas dengan gambar kira-kira gambarnya sebagai berikut,
Segienam beraturan dibangun oleh $6$ segitiga yang kongruen sehingga untuk menghitung luas segienam beraturan diatas dapat kita hitung dengan menghitung luas sebuah segitiga yang membangun segienam tersebut lalu kita kalikan dengan $6$.
Mari kita hitung luas segienamnya;
$ L=\frac{1}{2}\times OA\times OB\times sin\ 60^{\circ} \times 6$
$ L=\frac{1}{2}\times 4 \times 4 \times \frac{1}{2}\sqrt{3} \times 6$
$ L=2 \frac{1}{2}\sqrt{3} \times 6$
$ L=6 \sqrt{3}$
6. Pada segitiga $ABC$ dimana sisi $AB=c$, sisi $AC=b$, sisi $BC=a$, sudut $ABC=\angle B$, $ACB=\angle C$, dan $BAC=\angle A$. Buktikan bahwa $[ABC]=\frac{1}{2}ab\ sin\ C$ atau $[ABC]=\frac{1}{2}ac\ sin\ B$ atau $[ABC]=\frac{1}{2}bc\ sin\ A$.
Untuk membuktikan rumus atau aturan dalam menghitung luas segitiga $[ABC]=\frac{1}{2}ab\ sin\ C$ atau $[ABC]=\frac{1}{2}ac\ sin\ B$ atau $[ABC]=\frac{1}{2}bc\ sin\ A$ sebelumnya sudah pernah kita diskusikan. Simak di Menghitung Luas Segitiga Jika Diketahui Dua Sisi Satu Sudut
7. Pada segitiga $ABC$ dimana sisi $AB=c$, sisi $AC=b$, sisi $BC=a$. Buktikan $[ABC]=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ dimana $s=\frac{1}{2}(a+b+c)$.
Untuk membuktikan bahwa $[ABC]=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ dimana $s=\frac{1}{2}(a+b+c)$ adalah benar.
Kita membutuhkan beberapa data pendukung antara lain;
- Identitas trigonometri: $sin^{2}A=1-cos^{2}A$
- Aturan Cosinus: $cos\ A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$
- Sifat Aljabar: $ (x+y)(x-y)=x^{2}-y^{2}$
- $[ABC]=\frac{1}{2}bc\ sin\ A$
$sin^{2}A=1-cos^{2}A$
$sin^{2}A=(1-cos\ A)(1+cos\ A)$
$sin^{2}A=(1-\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc})(1+\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc})$
$sin^{2}A=(\frac{2bc-b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc})(\frac{2bc+b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc})$
$sin^{2}A=\left ( \frac{a^{2}-(b-c)^2}{2bc} \right )\left ( \frac{(b+c)^2-a^{2}}{2bc} \right )$
$sin^{2}A=\left ( \frac{[a-(b-c)][a+(b-c)]}{2bc} \right )\left ( \frac{[(b+c)+a)][(b+c)-a)]}{2bc} \right )$
$sin^{2}A=\left ( \frac{[a-b+c][a+b-c]}{2bc} \right )\left ( \frac{[b+c+a][b+c-a]}{2bc} \right )$
$sin^{2}A=\left ( \frac{[a-b+c][a+b-c][b+c+a][b+c-a]}{4b^{2}c^{2}} \right )$
$sin\ A=\sqrt{\left ( \frac{[a-b+c][a+b-c][b+c+a][b+c-a]}{4b^{2}c^{2}} \right )}$
$sin\ A=\frac{1}{2bc} \sqrt{(a-b+c)(a+b-c)(b+c+a)(b+c-a)}$
$sin\ A=\frac{1}{2bc} \sqrt{(a+b+c-2b)(a+b+c-2c)(b+c+a)(a+b+c-2a)}$
dengan $2s=a+b+c$ atau $s=\frac{1}{2}(a+b+c)$
maka kita peroleh;
$sin\ A=\frac{1}{2bc} \sqrt{(2s-2b)(2s-2c)(2s)(2s-2a)}$
$sin\ A=\frac{1}{2bc} \sqrt{2(s-b)2(s-c)2(s)2(s-a)}$
$sin\ A=\frac{1}{2bc} \sqrt{16(s-b)(s-c)(s)(s-a)}$
$sin\ A=\frac{1}{2bc} \times 4 \sqrt{(s)(s-a)(s-b)(s-c)}$
$sin\ A=\frac{2}{bc} \sqrt{(s)(s-a)(s-b)(s-c)}$
dari aturan sebelumnya kita sudah peroleh;
$[ABC]=\frac{1}{2}bc\ sin\ A$
$[ABC]=\frac{1}{2}bc\ \frac{2}{bc} \sqrt{(s)(s-a)(s-b)(s-c)}$
$[ABC]=\sqrt{(s)(s-a)(s-b)(s-c)}$
sampai tahap ini kita sudah berhasil sampai kepada apa yang diinginkan, dengan kata lain kita sudah berhasil membuktikan $[ABC]=\sqrt{(s)(s-a)(s-b)(s-c)}$.
Nama rumus ini diambil dari nama ahli matematika Yunani yang bernama Heron dari Alexandria. Rumus Heron tini sendiri terdapat pada buku yang ditulis oleh Heron yang berjudul “Metrica” sekitar tahun 60 Masehi.
Jika ada yang perlu disampaikan tidak usah sungkan-sungkan, silahkan disampaikan saja 😊 apalagi jika ada kesalahan perhitungan di coretan diatas.
Video pilihan khusus untuk Anda 😊 Bagaimana perkalian dikerjakan dengan cara Pilar (pintar bernalar);
