Lingkaran : Menentukan Persamaan Lingkaran, Titik Pusat Lingkaran dan Jari-jari Lingkaran Dilengkapi Contoh Soal dan Pembahasan
Saturday, September 16, 2017
Pada tulisan ini saya akan mencoba membahas materi lingkaran secara lengkap, berikut contoh soal dan pembahasannya, jadi kalian datang ke blog yang tepat :)
Menentukan Persamaan Lingkaran
Mari kita pahami dulu definisi dari lingkaran sebagai berikut:
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Titik tertentu itu disebut sebagai pusat lingkaran, sedangkan jarak titik terhadap pusat lingkaran disebut sebagai jari-jari lingkaran.
Mari kita pahami dulu definisi dari lingkaran sebagai berikut:
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Titik tertentu itu disebut sebagai pusat lingkaran, sedangkan jarak titik terhadap pusat lingkaran disebut sebagai jari-jari lingkaran.
Sekarang, perhatikan gambar berikut:
$$\begin{align*}PA&=r\\ \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}&=r\\(x-a)^2+(y-b)^2&=r^2\end{align*}$$
Bentuk $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ kita sebut saja sebagai bentuk baku lingkaran.
Bentuk baku tersebut yang akan kita gunakan untuk menentukan persamaan lingkaran. Jadi, untuk menentukan persamaan lingkaran ada dua unsur yang wajib kita cari, yaitu titik pusat lingkaran dan jari-jari lingkaran, selanjutnya kita substitusikan terhadap bentuk baku lingkaran. Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh berikut:
Contoh 1:
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di $(3, 4)$ dan berjari-jari $5$.
Jawab:
Untuk soal jenis ini, titik pusat dan jari-jari lingkaran sudah diketahui, jadi untuk menentukan persamaan lingkaran, kita hanya perlu mensubstitusikan titik pusat dan jari-jari lingkaran pada bentuk baku $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
Untuk soal jenis ini, titik pusat dan jari-jari lingkaran sudah diketahui, jadi untuk menentukan persamaan lingkaran, kita hanya perlu mensubstitusikan titik pusat dan jari-jari lingkaran pada bentuk baku $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
$\begin{align*}(x-a)^2+(y-b)^2&=r^2\\(x-3)^2+(y-4)^2&=5^2\\x^2-6x+9+y^2-8y+64&=5^2\\x^2+y^2-6x-8y+73&=25\\x^2+y^2-6x-8y+48&=0\end{align*}$
Contoh 2:
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di $(2, 3)$ dan melalui titik $(5, -1)$.
Jawab:
Beda dengan contoh 1, pada contoh 2 ini titik jari-jari lingkaran belum diketahui, jadi untuk menentukan persamaan lingkaran kita harus mencari jari-jari lingkaran terlebih dahulu:
menentukan jari-jari lingkaran:
$\begin{align*}(x-a)^2+(y-b)^2&=r^2\\(x-2)^2+(y-3)^2&=r^2\end{align*}$
Karena lingkaran melalui $(5, -1)$, maka substitusikan $x=5$ dan $y=-1$ pada persamaan di atas:
$\begin{align*}(5-2)^2+(-1-3)^2&=r^2\\3^2+(-4)^2&=r^2\\9+16&=r^2\\25&=r^2\\r&=\sqrt{25}\\r&=5\end{align*}$
Setelah kita memperoleh jari-jari dan pusat lingkaran, selanjutnya substitusikan pada bentuk baku $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
$\begin{align*}(x-2)^2+(y-3)^2&=5^2\\x^2-4x+4+y^2-6y+9&=25\\x^2+y^2-4x-6y+13&=25\\x^2+y^2-4x-6y-12&=0\end{align*}$
Contoh 3:
Jika diketahui titik $A(8, 4)$ dan $B(2, 4)$, Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik $A$ dan $B$ dan berdiameter $AB$.
Jawab:
Terlebih dahulu kita tentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran:
Titik Pusat:
Pusat $=\left(\frac{8+2}{2}, \frac{4+4}{2}\right)=(5,4)$
Jari-jari Lingkaran:
Jari-jari lingkaran merupakan jarak setiap titik pada sisi lingkaran terhadap pusat, dalam pembahasan ini saya akan menggunakan jarak titik $A(8,4)$ terhadap pusat $P(5,4)$.
$\begin{align*}r=AP&=\sqrt{(8-4)^2+(4-4)^2}\\&=\sqrt{4^2}\\&=4\end{align*}$
Selanjutnya, kita tinggal substitusikan jari-jari dan titik pusat pada bentuk baku $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
$\begin{align*}(x-a)^2+(y-b)^2&=r^2\\(x-5)^2+(y-4)^2&=4^2\\x^2-10x+25+y^2-8y+16&=16\\x^2+y^2-10x-8y+25&=0\end{align*}$
Contoh 4:
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di $(3, 4)$ dan menyinggung sumbu $x$
Jawab:
Contoh 5:
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik $P(2, -3)$ dan menyinggung garis $3x-4y+7=0$
Jawab:
Pada soal jenis ini, pusat lingkaran sudah diketahui, namun jari-jari belum diketahui, untuk itu kita harus mencari dulu jari-jari lingkaran tersebut. Caranya, kita gunakan rumus jarak titik ke garis sebagai berikut:
Misal kita akan mencari jarak titik $A(x_1, y_1)$ ke garis $Ax+By+C=0$, jarak titik ke garis tersebut adalah
$$r=\left|\frac{Ax_1+By_1+C}{\sqrt{A^2+B^2}}\right|$$
jadi, jari-jari lingkaran tersebut bisa kita peroleh dengan mencari jarak titik pusat ke garis singgung:
$\begin{align*}r&=\left|\frac{3(2)+(-4)(-3)+7}{\sqrt{3^2+4^2}}\right|\\&=\left|\frac{6+12+7}{\sqrt{9+16}}\right|\\&=\left|\frac{25}{\sqrt{25}}\right|\\&=\left|\frac{25}{5}\right|\\&=5\end{align*}$
selanjutnya, substitusikan pusat $(2,-3)$ dan jari-jari $r=5$ pada bentuk baku $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
$\begin{align*}(x-2)^2+(y+3)^2&=5^2\\x^2-4x+4+y^2+6y+9&=25\\x^2+y^2-4x+6y-12&=0\end{align*}$
Menentukan Titik Pusat dan Jari-jari Lingkaran
Jika kalian sudah paham cara mencari persamaan lingkaran, sekarang kita akan belajar bagaimana cara menentukan titik pusat dan jari-jari. Masih ingat "bentuk baku lingkaran" yang tadi telah kita pelajari? sekarang mari kita uraikan bentuk tersebut sehingga kita peroleh bentuk umum lingkaran:
$$\begin{align*}(x-a)^2+(y-b)^2&=r^2\\x^2-2ax+a^2+y^2-2by+c^2&=r^2\\x^2+y^2-2ax-2by+(a^2+b^2-r^2)&=0\end{align*}$$
Bentuk di atas bisa kita tulis:
$$x^2+y^2+Ax+By+C=0$$
dengan:
$A=-2a$
$B=-2b$
$C=a^2+b^2-r^2$
Cara menentukan pusat dan jari-jari lingkaran:
Pusat lingkaran $(a,b)=\left(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B\right)$
Jarti-jari lingkaran $r=\sqrt{a^2+b^2-C}$
Contoh 6:
Tentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran:
$x^2+y^2+4x-6y-12=0$
Jawab:
Trik mudah menentukan titik pusat adalah cukup dengan melihat koefisien variabel $x$ dan $y$, lalu kita bagi dengan $-2$. Pada soal di atas, koefisien variabel $x$ dan $y$ adalah $4$ dan $-6$, jika kita bagi dengan $-2$ maka kita peroleh $-2$ dan $3$. itulah titik pusat lingkaran tersebut.
Titik Pusat : $(-2, 3)$
Jika titik pusat telah kita dapatkan, cara menentukan jari-jari, kita tinggal substitusikan titik pusat tersebut ke formula $r=\sqrt{a^2+b^2-C}$. Pada soal di atas kita tau bahwa $a=-2$, $b=3$, dan $C=-12$, maka:
$\begin{align*}r&=\sqrt{(-2)^2+3^2-(-12)}\\&=\sqrt{4+9+12}\\&=\sqrt{25}\\&=5\end{align*}$
Contoh 7:
Titik $(a, b)$ adalah pusat lingkaran $x^2+y^2-2x+4y+1=0$, tentukan nilai $2a+b$
Jawab:
dengan menggunakan cara seperti contoh 6, kita peroleh $a=1, b=-2$, maka $2a+b=2(1)+(-2)=0$
Contoh 8:
Agar lingkaran $x^2+y^2+4x-6y+C=0$ memiliki panjang jari-jari $5$, tentukan nilai $C$
Jawab:
dari persamaan tersebut kita peroleh pusat $(-2, 3)$, maka:
$\begin{align*}C&=a^2+b^2-r^2\\&=(-2)^2+3^2-5^2\\&=4+9-25\\&=-12\end{align*}$
Baiklah, sementara itu dulu yang bisa saya share pada kesempatan kali ini. Jika belum paham, baca ulang, pelajari ulang dan pahami contoh soal dan pembahasan yang sudah saya berikan. Selanjutnya, kita akan belajar cara menentukan garis singgung lingkaran pada posting berikutnya.
Semoga bermanfaat.
$\blacksquare$ Denih Handayani, 17 September 2017
Jawab:
Terlebih dahulu kita tentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran:
Titik Pusat:
Pusat $=\left(\frac{8+2}{2}, \frac{4+4}{2}\right)=(5,4)$
Jari-jari Lingkaran:
Jari-jari lingkaran merupakan jarak setiap titik pada sisi lingkaran terhadap pusat, dalam pembahasan ini saya akan menggunakan jarak titik $A(8,4)$ terhadap pusat $P(5,4)$.
$\begin{align*}r=AP&=\sqrt{(8-4)^2+(4-4)^2}\\&=\sqrt{4^2}\\&=4\end{align*}$
Selanjutnya, kita tinggal substitusikan jari-jari dan titik pusat pada bentuk baku $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
$\begin{align*}(x-a)^2+(y-b)^2&=r^2\\(x-5)^2+(y-4)^2&=4^2\\x^2-10x+25+y^2-8y+16&=16\\x^2+y^2-10x-8y+25&=0\end{align*}$
Contoh 4:
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di $(3, 4)$ dan menyinggung sumbu $x$
Jawab:
Dari gambar, kita dapat melihat bahwa jari-jari lingkaran adalah $4$ dengan pusat $(3, 4)$, maka persamaan lingkarannya adalah:
$\begin{align*}(x-a)^2+(y-b)^2&=r^2\\(x-3)^2+(y-4)^2&=4^2\\x^2-6x+9+y^2-8y+16&=16\\x^2+y^2-6x-8y+9&=0\end{align*}$
Contoh 5:
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik $P(2, -3)$ dan menyinggung garis $3x-4y+7=0$
Jawab:
Pada soal jenis ini, pusat lingkaran sudah diketahui, namun jari-jari belum diketahui, untuk itu kita harus mencari dulu jari-jari lingkaran tersebut. Caranya, kita gunakan rumus jarak titik ke garis sebagai berikut:
Misal kita akan mencari jarak titik $A(x_1, y_1)$ ke garis $Ax+By+C=0$, jarak titik ke garis tersebut adalah
$$r=\left|\frac{Ax_1+By_1+C}{\sqrt{A^2+B^2}}\right|$$
jadi, jari-jari lingkaran tersebut bisa kita peroleh dengan mencari jarak titik pusat ke garis singgung:
$\begin{align*}r&=\left|\frac{3(2)+(-4)(-3)+7}{\sqrt{3^2+4^2}}\right|\\&=\left|\frac{6+12+7}{\sqrt{9+16}}\right|\\&=\left|\frac{25}{\sqrt{25}}\right|\\&=\left|\frac{25}{5}\right|\\&=5\end{align*}$
selanjutnya, substitusikan pusat $(2,-3)$ dan jari-jari $r=5$ pada bentuk baku $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
$\begin{align*}(x-2)^2+(y+3)^2&=5^2\\x^2-4x+4+y^2+6y+9&=25\\x^2+y^2-4x+6y-12&=0\end{align*}$
Menentukan Titik Pusat dan Jari-jari Lingkaran
Jika kalian sudah paham cara mencari persamaan lingkaran, sekarang kita akan belajar bagaimana cara menentukan titik pusat dan jari-jari. Masih ingat "bentuk baku lingkaran" yang tadi telah kita pelajari? sekarang mari kita uraikan bentuk tersebut sehingga kita peroleh bentuk umum lingkaran:
$$\begin{align*}(x-a)^2+(y-b)^2&=r^2\\x^2-2ax+a^2+y^2-2by+c^2&=r^2\\x^2+y^2-2ax-2by+(a^2+b^2-r^2)&=0\end{align*}$$
Bentuk di atas bisa kita tulis:
$$x^2+y^2+Ax+By+C=0$$
dengan:
$A=-2a$
$B=-2b$
$C=a^2+b^2-r^2$
Cara menentukan pusat dan jari-jari lingkaran:
Pusat lingkaran $(a,b)=\left(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B\right)$
Jarti-jari lingkaran $r=\sqrt{a^2+b^2-C}$
Contoh 6:
Tentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran:
$x^2+y^2+4x-6y-12=0$
Jawab:
Trik mudah menentukan titik pusat adalah cukup dengan melihat koefisien variabel $x$ dan $y$, lalu kita bagi dengan $-2$. Pada soal di atas, koefisien variabel $x$ dan $y$ adalah $4$ dan $-6$, jika kita bagi dengan $-2$ maka kita peroleh $-2$ dan $3$. itulah titik pusat lingkaran tersebut.
Titik Pusat : $(-2, 3)$
Jika titik pusat telah kita dapatkan, cara menentukan jari-jari, kita tinggal substitusikan titik pusat tersebut ke formula $r=\sqrt{a^2+b^2-C}$. Pada soal di atas kita tau bahwa $a=-2$, $b=3$, dan $C=-12$, maka:
$\begin{align*}r&=\sqrt{(-2)^2+3^2-(-12)}\\&=\sqrt{4+9+12}\\&=\sqrt{25}\\&=5\end{align*}$
Contoh 7:
Titik $(a, b)$ adalah pusat lingkaran $x^2+y^2-2x+4y+1=0$, tentukan nilai $2a+b$
Jawab:
dengan menggunakan cara seperti contoh 6, kita peroleh $a=1, b=-2$, maka $2a+b=2(1)+(-2)=0$
Contoh 8:
Agar lingkaran $x^2+y^2+4x-6y+C=0$ memiliki panjang jari-jari $5$, tentukan nilai $C$
Jawab:
dari persamaan tersebut kita peroleh pusat $(-2, 3)$, maka:
$\begin{align*}C&=a^2+b^2-r^2\\&=(-2)^2+3^2-5^2\\&=4+9-25\\&=-12\end{align*}$
Baiklah, sementara itu dulu yang bisa saya share pada kesempatan kali ini. Jika belum paham, baca ulang, pelajari ulang dan pahami contoh soal dan pembahasan yang sudah saya berikan. Selanjutnya, kita akan belajar cara menentukan garis singgung lingkaran pada posting berikutnya.
Semoga bermanfaat.
$\blacksquare$ Denih Handayani, 17 September 2017