Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Logaritma
Catatan calon guru yang kita diskusikan saat ini akan membahas tentang Matematika Dasar Logaritma. logaritma tidak bisa kita lepaskan dari topik sebelumnya yaitu eksponen dan bentuk akar. Eksponen, aturan dasar dan defenisi bentuk akar, dan logaritma dapat kita istilahkan dengan tiga serangkai, karena jika dipelajari hanya salah satu belum lengkap rasanya.
Penerapan logaritma dalam kehidupan sehari-hari juga sangat banyak, diantaranya bisa dilihat dari contoh soal yang kita diskusikan di bawah. Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada logaritma juga sangatlah mudah, jika Anda mengikuti step by step yang kita diskusikan dibawah ini, maka anda akan dengan mudah memahami soal-soal logaritma dan menemukan solusinya.
Bagaimana hubungan bilangan berpangkat, bentuk akar dan logaritma, secara sederhana dapat kita simak penjelasannya sebagai berikut;
- Dari bentuk bilangan berpangkat $ {\color{Blue} a}^{\color{Red} b}={\color{Green} c} $,
- untuk mendapatkan bilangan ${\color{Blue} a}$ dengan menggunakan bilangan ${\color{Red} b}$ dan ${\color{Green} c}$ maka operasi yang kita gunakan adalah akar, penulisan operasinya adalah $ \sqrt[{\color{Red} b}]{{\color{Green} c}}={\color{Blue} a}$
- untuk mendapatkan bilangan ${\color{Red} b}$ dengan menggunakan bilangan ${\color{Blue} a}$ dan ${\color{Green} c}$ maka operasi yang kita gunakan adalah logaritma, penulisan operasinya adalah $^{{\color{Blue} a}}\textrm{log}\ {\color{Green} c}={\color{Red} b}$
- $ {\color{Blue} 2}^{\color{Red} 3}={\color{Green} 8} $ $\Leftrightarrow $ $^{{\color{Blue} 2}}\textrm{log}\ {\color{Green} 8}= {\color{Red}3}$;
- $ \sqrt[{\color{Red} 3}]{{\color{Green} 8}}={\color{Blue} 2}$ $\Leftrightarrow$ $ {\color{Blue} 2}^{\color{Red} 3}={\color{Green} 8} $;
- $ \sqrt[{\color{Red} 3}]{{\color{Green} 8}}={\color{Blue} 2}$ $\Leftrightarrow$ $^{{\color{Blue} 2}}\textrm{log}\ {\color{Green} 8}= {\color{Red}3}$.
Istilah-istilah pada logaritma $^{{\color{Blue} a}}\textrm{log}\ {\color{Green} b}={\color{Red}c}$
- $ {\color{Blue} a}$ disebut Basis [Bilangan Pokok]. Batasan nilai $ {\color{Blue} a}$ adalah $ {\color{Blue} a} \gt 0$ dan ${\color{Blue} a}\neq 1$. Untuk logaritma basis $10$ bisa tidak dituliskan.
- $ {\color{Green} b}$ disebut Numerus atau bilangan yang dicari logaritmanya. Batasan nilai $ {\color{Green} b}$ adalah $ {\color{Green} b} \gt 0$
- $ {\color{Red}c}$ disebut Hasil logaritma
- ${}^a\!\log a=1$ karena $ a^{0}=1$
- ${}^a\!\log 1=0$ karena $ a^{1}=a$
- ${}^a\!\log x\ +{}^a\!\log y={}^a\!\log \left (x\cdot y \right )$
- ${}^a\!\log x\ -{}^a\!\log y={}^a\!\log \dfrac{x}{y} $
- ${}^a\!\log x^{n}=n {}^a\!\log x $
- ${}^a\!\log \sqrt[n]{x}=\dfrac{1}{n}\ {}^a\!\log x $
- ${}^{a^{n}}\!\log x^{m}=\dfrac{m}{n}\ {}^a\!\log x $
- ${}^a\!\log x= \dfrac{{}^p\!\log x}{{}^p\!\log a} $
- ${}^a\!\log x \cdot\ {}^x\!\log b={}^a\!\log b$
- ${}^a\!\log x= \dfrac{1}{{}^x\!\log a} $
- $ a^{{}^a\!\log x}= x $
- $ a^{{}^b\!\log c}=c^{{}^b\!\log a} $ (*pembuktian)
1. Soal SBMPTN 2015 Kode 634 (*Soal Lengkap)
Diketahui ${}^p\!\log 2 =8$ dan ${}^q\!\log 8 =4$. Jika $s=p^{4}$ dan $t=q^{2}$, maka nilai ${}^t\!\log s =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{4} \\
(B)\ & \dfrac{1}{3} \\
(C)\ & \dfrac{2}{3} \\
(D)\ & \dfrac{3}{2} \\
(E)\ & 3
\end{align}$
Dari data yang diketahui, kita peroleh;
$\begin{align}
{}^p\!\log 2 =8\ \Leftrightarrow & p=2^{\dfrac{1}{8}} \\
{}^q\!\log 8 =4\ \Leftrightarrow & q=8^{\dfrac{1}{4}}=2^{\dfrac{3}{4}} \\
\hline
{}^t\!\log s &= {}^{q^{2}}\!\log p^{4} \\
&= \dfrac{4}{2} {}^q\!\log p \\
& =2 \cdot \dfrac{4}{2}\ ^{2^\frac{1}{8}} {}^\!\log 2^\frac{3}{4} \\
& =2 \cdot \dfrac{\frac{1}{8}}{\frac{3}{4}} {}^2\!\log {2} \\
& =2 \cdot \dfrac{1}{8} \cdot \dfrac{4}{3} \\
& = \dfrac{1}{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{1}{3}$
2. Soal SBMPTN 2014 Kode 622 (*Soal Lengkap)
Diketahui $a={}^4\!\log\ x$ dan $b={}^2\!\log\ x$. Jika ${}^4\!\log\ b+{}^2\!\log\ a=2$, maka $a+b$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 4 \\
(B)\ & 6 \\
(C)\ & 8 \\
(D)\ & 12 \\
(E)\ & 16
\end{align}$
$a=^{4}log\ x$ dan $b=^{2}log\ x$ $\Leftrightarrow $ $2a=b$
$\begin{align}
^{4}log\ b+^{2}log\ a &= 2 \\
\dfrac{1}{2}^{2}log\ b+^{2}log\ a &= 2 \\
^{2}log\ b^{\dfrac{1}{2}}+^{2}log\ a &= 2 \\
^{2}log\ \left( b^{\dfrac{1}{2}} \cdot a \right) &= 2 \\
b^{\dfrac{1}{2}} \cdot a &= 2^{2} \\
(2a)^{\dfrac{1}{2}} \cdot a &= 4 \\
2a \cdot a^{2} &= 16 \\
a^{3} &= 8 \\
a=2\ \text{dan}\ b=4
\end{align}$
Nilai $a+b=2+4=6$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 6$
3. Soal SBMPTN 2013 Kode 425 (*Soal Lengkap)
Jika $^{x}log\ w=\dfrac{1}{2}$ dan $^{xy}log\ w=\dfrac{2}{5}$ maka nilai $^{y}log\ w$ adalah$\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 8 \\
(B)\ & 6 \\
(C)\ & 4 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 1
\end{align}$
$\begin{align}
^{x}log\ w=\dfrac{1}{2} & \Leftrightarrow ^{w}log\ x=2
\end{align}$
$\begin{align}
^{xy}log\ w=\dfrac{2}{5}
& \Leftrightarrow ^{w}log\ {xy}=\dfrac{5}{2} \\
& \Leftrightarrow ^{w}log\ {x}+^{w}log\ {y}=\dfrac{5}{2} \\
& \Leftrightarrow 2+^{w}log\ {y}=\dfrac{5}{2} \\
& \Leftrightarrow ^{w}log\ {y}=\dfrac{5}{2}-2 \\
& \Leftrightarrow ^{w}log\ {y}=\dfrac{1}{2} \\
& \Leftrightarrow ^{y}log\ {w}=2
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$
4. Soal SIMAK UI 2013 Kode 331 (*Soal Lengkap)
Diketahui bahwa:
$^{3}log\ x \cdot\ ^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x =$ $^{3}log\ x\cdot\ ^{6}log\ x + ^{3}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x+ ^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x$
maka nilai $x$ adalah$\cdots$
$\begin{align}
(1)\ & \dfrac{1}{3} \\
(2)\ & 1 \\
(3)\ & 4 \\
(4)\ & 162
\end{align}$
$^{3}log\ x \cdot\ ^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x =$ $^{3}log\ x\cdot\ ^{6}log\ x + ^{3}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x+ ^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x$
Jika kita perhatikan persamaan diatas, tiap ruas mengandung $^{3}log\ x$ sehingga persamaan akan memenuhi untuk $x=1$.
Berikutnya, ruas kiri dan kanan persamaan kita kalikan dengan $^{x}log\ 3$ sehingga kita peroleh;
$\Rightarrow$ $^{3}log\ x \cdot\ ^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x \cdot\ ^{x}log\ 3=$ $^{3}log\ x\cdot\ ^{6}log\ x \cdot\ ^{x}log\ 3+ ^{3}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x \cdot\ ^{x}log\ 3+ ^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x \cdot\ ^{x}log\ 3$
$\Rightarrow$ $^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x=$ $^{6}log\ x+^{9}log\ x+ ^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ 3$
Berikutnya, ruas kiri dan kanan persamaan kita kalikan dengan $^{x}log\ 6$ sehingga kita peroleh;
$\Rightarrow$ $^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x \cdot\ ^{x}log\ 6=$ $^{6}log\ x \cdot\ ^{x}log\ 6+^{9}log\ x \cdot\ ^{x}log\ 6+ ^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ 3 \cdot\ ^{x}log\ 6$
$\Rightarrow$ $^{9}log\ x=$ $1+^{9}log\ 6+ ^{9}log\ 3$
$\Rightarrow$ $^{9}log\ x=$ $^{9}log\ 9+^{9}log\ 6+ ^{9}log\ 3$
$\Rightarrow$ $^{9}log\ x=$ $^{9}log\ (9 \cdot 6 \cdot 3)$
$\therefore$ $x=9 \cdot 6 \cdot 3=162$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ (2)\ \text{dan}\ (4)$
5. Soal SIMAK UI 2012 Kode 222 (*Soal Lengkap)
Jika diketahui:
$f(n)=^{2}log\ 3 \cdot\ ^{3}log\ 4 \cdot\ ^{4}log\ 5 \cdots\ ^{n-1}log\ n$ maka $f(8)+f(16)+f(32)+ \cdots +f(2^{30})=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 461 \\
(B)\ & 462 \\
(C)\ & 463 \\
(D)\ & 464 \\
(E)\ & 465
\end{align}$
$f(n)=^{2}log\ 3 \cdot\ ^{3}log\ 4 \cdot\ ^{4}log\ 5 \cdots\ ^{n-1}log\ n$
$f(8)=^{2}log\ 3 \cdot\ ^{3}log\ 4 \cdot\ ^{4}log\ 5 \cdots\ ^{7}log\ 8$
$f(2^{3})=^{2}log\ 8=3$
$f(16)=^{2}log\ 3 \cdot\ ^{3}log\ 4 \cdot\ ^{4}log\ 5 \cdots\ ^{15}log\ 16$
$f(2^{4})=^{2}log\ 16=4$
$f(32)=^{2}log\ 3 \cdot\ ^{3}log\ 4 \cdot\ ^{4}log\ 5 \cdots\ ^{31}log\ 32$
$f(2^{5})=^{2}log\ 8=5$
$\vdots$
$f(2^{30})=^{2}log\ 3 \cdot\ ^{3}log\ 4 \cdot\ ^{4}log\ 5 \cdots\ ^{2^{30}-1}log\ 2^{30}$
$f(2^{30})=^{2}log\ 2^{30}=30$
$f(8)+f(16)+f(32)+ \cdots +f(2^{30})$
$=3+4+5+\cdots+30$
$=15 \cdot 31 -3$
$=462$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 462$
6. Soal SIMAK UI 2012 Kode 222 (*Soal Lengkap)
Sebuah lingkaran memiliki jari-jari $log\ a^{2}$ dan keliling $log\ b^{4}$, maka $^{a}log\ b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{4\pi} \\
(B)\ & \dfrac{1}{\pi} \\
(C)\ & \pi \\
(D)\ & 2\pi \\
(E)\ & 10^{2\pi}
\end{align}$
Keliling Lingkaran adalah $2 \pi r$, sehingga berlaku
$\begin{align}
log\ b^{4} &= 2 \pi\ log\ a^{2} \\
4 log\ b &= 2 \pi\ 2 log\ a \\
4 log\ b &= 4 \pi\ log\ a \\
log\ b &=\pi\ log\ a \\
\dfrac{log\ b}{log\ a} &= \pi \\
^{a}log\ b &= \pi
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \pi$
7. Soal USM STIS 2015 (*Soal Lengkap)
Jika diketahui $x=log\ a$, $y=log\ b$ dan $z=log\ c$. Maka bentuk sederhana dari $log\left (\dfrac{a}{b^{2}}\sqrt{c} \right )$ dalam $x$, $y$ dan $z$ adalah$\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & log \left (\dfrac{x}{y^{2}}\sqrt{z} \right ) \\
(B)\ & log\ x-log\ y^{2}+log \sqrt{z} \\
(C)\ & \dfrac{x}{y^{2}}\sqrt{z} \\
(D)\ & x-2y+ \dfrac{1}{2}z \\
(E)\ & x-y^{2}+\sqrt{c}
\end{align}$
$\begin{align}
log\left (\dfrac{a}{b^{2}}\sqrt{c} \right ) &= log\left (\dfrac{a}{b^{2}}\right )+log\ \sqrt{c} \\
&=log\ a-log\ b^{2} + log\ c^{\dfrac{1}{2}} \\
&=log\ a-2\ log\ b +\dfrac{1}{2} log\ c \\
&=x-2y +\dfrac{1}{2} z \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ x-2y+ \dfrac{1}{2}z$
8. Soal USM STIS 2017 (*Soal Lengkap)
$\dfrac{\left (^{5}log\ 10 \right )^{2}-\left (^{5}log\ 2 \right )^{2}}{^{5}log\ \sqrt{20}}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{2} \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & 2 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 5
\end{align}$
Untuk menyelesaikan soal logaritma diatas kita gunakan sifat aljabar $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$
$\dfrac{\left (^{5}log\ 10 \right )^{2}-\left (^{5}log\ 2 \right )^{2}}{^{5}log\ \sqrt{20}}$
$=\dfrac{\left (^{5}log\ 10\ +\ ^{5}log\ 2 \right) \left(^{5}log\ 10\ -\ ^{5}log\ 2 \right)}{^{5}log\ 20^{\dfrac{1}{2}}}$
$=\dfrac{\left (^{5}log\ 20\right) \left(^{5}log\ 5\right)}{\dfrac{1}{2}\ ^{5}log\ 20}$
$=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}$
$=2$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 2$
9. Soal UM UNDIP 2015 Kode 517 (*Soal Lengkap)
Diketahui persamaan
\begin{split}^{2}log\ ^{3}log\ \left(^{5}log\ a\right )&=^{3}log\ ^{5}log\ \left(^{2}log\ b\right )\\
&=^{5}log\ ^{2}log\ \left(^{3}log\ c\right )\\
&=0\end{split}maka nilai dari $a+b+c$ adalah$\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 145 \\
(B)\ & 146 \\
(C)\ & 166 \\
(D)\ & 178 \\
(E)\ & 200
\end{align}$
Untuk menyelesaikan persamaan logaritma diatas, kita coba selesaikan persamaannya satu persatu, persamaan pertama;
$\begin{align}
^{3}log\ ^{5}log\ \left(^{2}log\ b\right )&=0\\
^{3}log\ ^{5}log\ \left(^{2}log\ b\right )&=\ ^{3}log\ 1\\
^{5}log\ \left(^{2}log\ b\right )&=1\\
^{5}log\ \left(^{2}log\ b\right )&=\ ^{5}log\ 5\\
\left(^{2}log\ b\right )&=5\\
b&=2^{5}\\
b&=32
\end{align}$
Persamaan kedua;
$\begin{align}^{5}log\ ^{2}log\ \left(^{3}log\ c\right )&=0\\
^{5}log\ ^{2}log\ \left(^{3}log\ c\right )&=\ ^{5}log\ 1\\
^{2}log\ \left(^{3}log\ c\right )&=1\\
^{2}log\ \left(^{3}log\ c\right )&=\ ^{2}log\ 2\\
\left(^{3}log\ c\right )&=2\\
c&=3^{2}\\
c&=9
\end{align}$
Persamaan ketiga;
$\begin{align}^{2}log\ ^{3}log\ \left(^{5}log\ a\right )&=0\\
^{2}log\ ^{3}log\ \left(^{5}log\ a\right )&=\ ^{2}log\ 1\\
^{3}log\ \left(^{5}log\ a\right )&= 1\\
^{3}log\ \left(^{5}log\ a\right )&=\ ^{3}log\ 3\\
\left(^{5}log\ a\right )=3\\
a=5^{3}\\
a=125
\end{align}$
$a+b+c=125+32+9=166$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 166$
10. Soal SIMAK UI 2010 Kode 203 (*Soal Lengkap)
Jika $(p,q)$ merupakan penyelesaian dari sistem berikut:
\begin{split}
^{3}log\ x\ +\ ^{2}log\ y &=4\\
^{3}log\ x^{2}\ -\ ^{4}log\ 4y^{2} &=1\\
\end{split} maka nilai $p-q=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & 4 \\
(C)\ & 5 \\
(D)\ & 9 \\
(E)\ & 13
\end{align}$
Sistem persamaan diatas mempunyai peneyelesaian $(p,q)$, sehingga kita harus mendapatkan nilai $p$ dan $q$ yang berturut-turut merupakan nilai $x$ dan $y$ dari sistem persamaan.
Pertama kita coba sederhanakan sistem persamaan. Persamaan pertama sudah berada pada bentuk yang paling sederhana, sehingga yang perlu kita sederhanakan adalah persamaan kedua;
$\begin{align}
^{3}log\ x^{2}\ -\ ^{4}log\ 4y^{2} &=1\\
2\ ^{3}log\ x\ -\ ^{2^{2}}log\ {(2y)}^{2} &=1\\
2\ ^{3}log\ x\ -\ \dfrac{2}{2}\ ^{2}log\ {2y} &=1\\
2\ ^{3}log\ x\ -\ ^{2}log\ {2y} &=1\\
2\ ^{3}log\ x\ -\ (^{2}log\ {2}+^{2}log\ {y}) &=1\\
2\ ^{3}log\ x\ -\ ^{2}log\ {2}-^{2}log\ {y} &=1\\
2\ ^{3}log\ x\ -^{2}log\ {y} &=2
\end{align}$
Sistem persamaan sekarang bisa kita tuliskan menjadi;
$\begin{align}
^{3}log\ x\ +\ ^{2}log\ y &=4\\
2\ ^{3}log\ x\ -\ ^{2}log\ y &=2\\
\end{align}$
Untuk mempermudah penulisan atau penyelesaian persamaan diatas, kita misalkan $^{3}log\ x\ =m$ dan $^{2}log\ y\ =n$. Dengan pemisalan ini sistem persamaan bisa kita tuliskan menjadi;
$\begin{align}
m\ +\ n\ &=4\\
2\ m\ -\ n\ &=2\\
\end{align} $
Dengan mengeliminasi atau mengsubstitusi sistem persamaan diatas, maka kita peroleh nilai $m=2$ dan $n=2$.
Untuk nilai $m=2$ maka $^{3}log\ x\ =2$ sehingga $x=3^{2}$
Untuk nilai $n=2$ maka $^{2}log\ y\ =2$ sehingga $y=2^{2}$
Nilai $p-q=9-4=5$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 5$
11. Soal SIMAK UI 2010 Kode 203 (*Soal Lengkap)
Nilai $\dfrac{^{2}log\ 5 \cdot\ ^{6}log\ 5+\ ^{3}log\ 5 \cdot\ ^{6}log\ 5}{^{2}log\ 5 \cdot ^{3}log\ 5}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & 2 \\
(D)\ & 5 \\
(E)\ & 6
\end{align}$
$\dfrac{^{2}log\ 5 \cdot\ ^{6}log\ 5+\ ^{3}log\ 5 \cdot\ ^{6}log\ 5}{^{2}log\ 5 \cdot ^{3}log\ 5}$
$=\dfrac{^{2}log\ 5 \cdot\ ^{6}log\ 5+\ ^{3}log\ 5 \cdot\ ^{6}log\ 5}{^{2}log\ 5 \cdot ^{3}log\ 5} \cdot \dfrac{^{5}log\ 6}{^{5}log\ 6}$
$=\dfrac{^{2}log\ 5 \cdot\ ^{6}log\ 5\ \cdot\ ^{5}log\ 6+\ ^{3}log\ 5\ \cdot\ ^{6}log\ 5\ \cdot\ ^{5}log\ 6}{^{2}log\ 5 \cdot ^{3}log\ 5\ \cdot\ ^{5}log\ 6}$
$=\dfrac{^{2}log\ 5\ +\ ^{3}log\ 5}{^{2}log\ 6 \cdot ^{3}log\ 5} \cdot \dfrac{^{5}log\ 3}{^{5}log\ 3}$
$=\dfrac{^{2}log\ 5\ \cdot\ ^{5}log\ 3+\ ^{3}log\ 5\ \cdot\ ^{5}log\ 3}{^{2}log\ 6 \cdot ^{3}log\ 5\ \cdot\ ^{5}log\ 3}$
$=\dfrac{^{2}log\ 3\ +\ 1}{^{2}log\ 6}$
$=\dfrac{^{2}log\ 3\ +\ ^{2}log\ 2}{^{2}log\ 6}$
$=\dfrac{^{2}log\ (3 \cdot 2)}{^{2}log\ 6}$
$=\dfrac{^{2}log\ 6}{^{2}log\ 6}$
$=1$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 1$
12. Soal UM UGM 2017 Kode 723 (*Soal Lengkap)
Jika $^{2}log\ (a-b)=4$, maka $^{4}log\ \left (\dfrac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\dfrac{2}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} \right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{^{2}log\ a-4}{4} \\
(B)\ & \dfrac{^{2}log\ a+4}{4} \\
(C)\ & \dfrac{^{2}log\ a-2}{2} \\
(D)\ & \dfrac{^{2}log\ a+2}{2} \\
(E)\ & \dfrac{^{2}log\ a-1}{2}
\end{align}$
$^{4}log\ \left (\dfrac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\dfrac{2}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} \right )$
$=\ ^{4}log\ \left (\dfrac{4\sqrt{a}}{a-b} \right )$
$=\ ^{4}log\ 4\sqrt{a} -\ ^{4}log\ (a-b)$
$=\ ^{4}log\ 4 +\ ^{4}log\ \sqrt{a} -\ \dfrac{1}{2} \cdot ^{2}log\ (a-b)$
$=1 +\ ^{2^{2}}log\ a^{\dfrac{1}{2}} -\ \dfrac{1}{2} \cdot 4$
$=1 +\ \dfrac{1}{4} \cdot ^{2}log\ a -\ 2$
$=\dfrac{1}{4} \cdot ^{2}log\ a -\ 1$
$=\dfrac{^{2}log\ a -\ 4}{4}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{^{2}log\ a-4}{4}$
13. Soal SIMAK UI 2009 Kode 911 (*Soal Lengkap)
${}^3 \log x + 2\ {}^9 \log y = 3$ dan ${}^3 \log \left( \dfrac{x-y}{2} \right) = 0 $, maka $ x + y = \cdots $
$\begin{align}
(1)\ & 2\sqrt{7} \\
(2)\ & -4\sqrt{7} \\
(3)\ & -2\sqrt{7} \\
(4)\ & 4\sqrt{7}
\end{align}$
Kita coba mulai bermain dari persamaan pertama ${}^3 \log x + 2\ {}^9 \log y = 3 $, dengan mengusahakan bilangan pokok logaritma jadi sama.
$ \begin{align}
{}^3 \log x + 2\ {}^9 \log y & = 3 \\
{}^3 \log x + 2\ {}^{3^2} \log y & = 3 \\
{}^3 \log x + 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot {}^3 \log y & = 3 \\
{}^3 \log x + {}^3 \log y & = 3 \\
{}^3 \log xy & = 3 \\
xy & = 3^3 \\
xy & = 27 \\
\end{align} $
Syarat bilangan ${}^3 \log x$ adalah $ x > 0 $ dan syarat ${}^9 \log y$ adalah $ y > 0 $.
Lalu kita bermain dari persamaan kedua $ {}^3 \log \left( \dfrac{x-y}{2} \right) = 0 $
$ \begin{align}
{}^3 \log \left( \dfrac{x-y}{2} \right) & = 0 \\
\dfrac{x-y}{2} & = 3^0 \\
\dfrac{x-y}{2} & = 1 \\
x - y & = 2
\end{align} $
Dari hasil yang kita peroleh dari persamaan pertama $ xy = 27 $ dan kedua $ x - y = 2 $;
$ \begin{align}
x - y & = 2 \\
(x - y)^2 & = 2^2 \\
x^2 + y^2 - 2xy & = 4 \\
x^2 + 2xy + y^2 - 4xy & = 4 \\
(x + y)^2 - 4xy & = 4 \\
(x + y)^2 & = 4 + 4xy \\
(x + y)^2 & = 4 + 4. 27 \\
(x + y)^2 & = 112 \\
x + y & = \pm \sqrt{112} \\
x + y & = \pm 4 \sqrt{7}
\end{align} $
Karena $ x > 0 $ dan $ y > 0 $ dari syarat, maka nilai $ x + y$ yang memenuhi hanya $4\sqrt{7}$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ (4)\ 4\sqrt{7}$
14. Soal SBMPTN 2018 Kode 526 (*Soal Lengkap)
Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ memenuhi $\left ( ^{(2-x)}log\ 27 \right )^{2}=9$ maka nilai $x_{1}+x_{2}$ adalah
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{8}{3} \\
(B)\ & \dfrac{5}{3} \\
(C)\ & \dfrac{2}{3} \\
(D)\ & -\dfrac{2}{3} \\
(E)\ & -\dfrac{8}{3}
\end{align}$
$\begin{align}
\left ( ^{(2-x)}log\ 27 \right )^{2} &= 9 \\
^{(2-x)}log\ 27 & = \pm \sqrt{9} \\
^{(2-x)}log\ 27 & = \pm 3 \\
^{(2-x)}log\ 27 & = 3\ \text{atau} \\
^{(2-x)}log\ 27 & = - 3
\end{align}$
$\begin{align}
^{(2-x)}log\ 27 & = 3 \\
(2-x)^{3} & = 27 \\
(2-x)^{3} & = 3^{3} \\
2-x & = 3 \\
2-3 & = x \\
-1 & = x
\end{align}$
$\begin{align}
^{(2-x)}log\ 27 & = -3 \\
(2-x)^{-3} & = 27 \\
(2-x)^{-3} & = \dfrac{1}{3}^{-3} \\
2-x & = \dfrac{1}{3} \\
6-3x & = 1 \\
6-1 & = 3x \\
\dfrac{5}{3} & = x
\end{align}$
$x_{1}+x_{2}= \dfrac{5}{3}-1=\dfrac{2}{3}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{2}{3}$
15. Soal SBMPTN 2018 Kode 527 (*Soal Lengkap)
Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ memenuhi $\left ( ^{3}log\ (x+1) \right )^{2}=4$ maka nilai $x_{1} x_{2}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 8 \\
(B)\ & \dfrac{64}{9} \\
(C)\ & -\dfrac{8}{9} \\
(D)\ & -\dfrac{64}{9} \\
(E)\ & -\dfrac{80}{9}
\end{align}$
$\begin{align}
\left ( ^{3}log\ (x+1) \right )^{2} &= 4 \\
^{3}log\ (x+1) &= \pm \sqrt{ 4} \\
^{3}log\ (x+1) &= \pm 2 \\
^{3}log\ (x+1) &= 2\ \text{atau} \\
^{3}log\ (x+1) &= - 2
\end{align}$
$\begin{align}
^{3}log\ (x+1) &= 2 \\
3^{2} & = x+1 \\
9 & = x+1 \\
x & = 8
\end{align}$
$\begin{align}
^{3}log\ (x+1) &= -2 \\
3^{-2} & = x+1 \\
\dfrac{1}{9} & = x+1 \\
1 & = 9x+9 \\
-8 & = 9x \\
-\dfrac{8}{9} & = x
\end{align}$
$x_{1} x_{2}=-\dfrac{8}{9} \times 8 = -\dfrac{64}{9}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -\dfrac{64}{9}$
16. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 (*Soal Lengkap)
Jika $ ^{7}log\ \left( ^{3}log\ \left( ^{2}log\ x \right ) \right ) =0$, nilai $2x+^{4}log\ x^{2}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 10 \\
(B)\ & 12 \\
(C)\ & 19 \\
(D)\ & 21 \\
(E)\ & 24
\end{align}$
$\begin{align}
^{7}log\ \left( ^{3}log\ \left( ^{2}log\ x \right ) \right ) &= 0 \\
^{7}log\ \left( ^{3}log\ \left( ^{2}log\ x \right ) \right ) &= ^{7}log\ 1 \\
^{3}log\ \left( ^{2}log\ x \right ) &= 1 \\
^{3}log\ \left( ^{2}log\ x \right ) &= ^{3}log\ 3 \\
^{2}log\ x &= 3 \\
x &= 2^{3} =8
\end{align}$
$\begin{align}
2x+^{4}log\ x^{2} &= 2(8)+^{4}log\ (8)^{2} \\
& = 16 + ^{4}log\ (8)^{2} \\
& = 16 + ^{4}log\ 4^{3} \\
& = 16 + 3 = 19
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 19$
17. Soal SIMAK UI 2012 Kode 223 (*Soal lengkap)
Jika diketahui $x$ dan $y$ adalah bilangan real dengan $x \gt 1$ dan $y \gt 0$. Jika $xy=x^{y}$ dan $\dfrac{x}{y}=x^{5y}$, maka $x^{2}+3y=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 29 \\
(B)\ & 28 \\
(C)\ & 27 \\
(D)\ & 26 \\
(E)\ & 25
\end{align}$
$\begin{align}
x^{y} &= xy \Leftrightarrow {}^x\!\log (xy)=y \\
{}^x\!\log (xy) &= y \\
{}^x\!\log x+{}^x\!\log y &= y \\
1+{}^x\!\log y &= y \\
{}^x\!\log y &= y-1 \cdots (pers.1)
\end{align}$
$\begin{align}
\dfrac{x}{y} &= x^{5y} \Leftrightarrow {}^x\!\log (\dfrac{x}{y}) = 5y \\
{}^x\!\log (\dfrac{x}{y}) &= 5y \\
{}^x\!\log x-{}^x\!\log y &= 5y \\
1-{}^x\!\log y &= 5y \\
{}^x\!\log y &= 1-5y\ \cdots (pers.2)
\end{align}$
Dengan mensubstitusi $(pers.1)$ dan $(pers.2)$ maka kita peroleh:
$\begin{align}
{}^x\!\log y &= {}^x\!\log y \\
y-1 &= 1-5y \\
6y &= 2\ \Rightarrow y= \dfrac{1}{3} \\
\hline
xy &= x^{y} \\
x\left( \dfrac{1}{3} \right) &= x^{\dfrac{1}{3}} \\
x &= 3x^{\dfrac{1}{3}} \\
x^{3} &= 27x\ \Rightarrow x^{2} = 27 \\
\hline
x^{2}+3y &= 27+3(\dfrac{1}{3})=28
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 28$
18. Soal UM UGM 2014 Kode 521 (*Soal Lengkap)
Jika $4^{y+3x}=64$ dan ${}^x\!\log (x+12)-3{}^x\!\log 4=-1$ maka $x+2y=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 86 \\
(B)\ & 34 \\
(C)\ & -5 \\
(D)\ & -14 \\
(E)\ & -34
\end{align}$
$\begin{align}
{}^x\!\log (x+12)-3{}^x\!\log 4 &= -1 \\
{}^x\!\log (x+12)- {}^x\!\log 4^{3} &= -1 \\
{}^x\!\log \dfrac{(x+12)}{4^{3}} &= {}^x\!\log \dfrac{1}{x} \\
\dfrac{(x+12)}{4^{3}} &= \dfrac{1}{x} \\
x^{2}+12x &= 64 \\
x^{2}+12x-64 &= 0 \\
(x+16)(x-4) &= 0 \\
x=-16\ \text{(TM)}\ \text{atau}\ &\ x=4
\end{align}$
$\begin{align}
4^{y+3x} &= 64 \\
4^{y+3x} &= 4^{3} \\
y+3x &= 3 \\
y &= 3-3x \\
x=4\ & \Rightarrow y=-9 \\
\hline
x+2y= & 4+2(-9)=-14
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 28$
19. Soal UM UGM 2014 Kode 521 (*Soal Lengkap)
Jika $f \left(x^{2}+3x+1 \right) = {}^2\!\log \left(2x^{3}-x^{2}+7 \right)$, $x \geq 0$ maka $f(5)=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 3 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 5
\end{align}$
$\begin{align}
f \left(x^{2}+3x+1 \right) &= {}^2\!\log \left(2x^{3}-x^{2}+7 \right) \\
\text{untuk}\ x=1, \text{maka:}\\
f \left((1)^{2}+3(1)+1 \right) &= {}^2\!\log \left(2(1)^{3}-(1)^{2}+7 \right) \\
f \left(5 \right) &= {}^2\!\log \left(8 \right) \\
&= {}^2\!\log 2^{3} \\
&= 3
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 3$
20. Soal UMB-PT 2014 Kode 672 (*Soal Lengkap)
Jika $a \gt 1$, $b \gt 1$ dan $c \gt 1$ maka $\left( {}^a\!\log \dfrac{1}{b} \right)\left( {}^b\!\log \dfrac{1}{c} \right)\left( {}^c\!\log \dfrac{1}{a} \right)=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 1-abc \\
(B)\ & abc \\
(C)\ & -abc \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & -1
\end{align}$
$\begin{align}
& \left( {}^a\!\log \dfrac{1}{b} \right)\left( {}^b\!\log \dfrac{1}{c} \right)\left( {}^c\!\log \dfrac{1}{a} \right) \\
& = \left( {}^a\!\log b^{-1} \right)\left( {}^b\!\log c^{-1} \right)\left( {}^c\!\log a^{-1} \right) \\
& = (-1) \left( {}^a\!\log b \right)(-1)\left( {}^b\!\log c \right)(-1)\left( {}^c\!\log a \right) \\
& = (-1) {}^a\!\log b \cdot {}^b\!\log c \cdot {}^c\!\log a \\
&= -1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -1$
21. Soal SBMPTN 2014 Kode 683 (*Soal Lengkap)
Jika ${}^b\!\log a=-2$ dan ${}^3\!\log b=\left( {}^3\!\log 2 \right)\left(1+ {}^2\!\log 4a \right)$, maka $4a+b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 768 \\
(B)\ & 72 \\
(C)\ & 36 \\
(D)\ & 12 \\
(E)\ & 3
\end{align}$
$\begin{align}
{}^b\!\log a &= -2 \\
b^{-2} & = a \\
\hline
{}^3\!\log b &= \left( {}^3\!\log 2 \right)\left(1+ {}^2\!\log 4a \right) \\
{}^3\!\log b &= \left( {}^3\!\log 2 \right)\left({}^2\!\log 2+ {}^2\!\log 4b^{-2} \right) \\
{}^3\!\log b &= {}^3\!\log 2 \cdot {}^2\!\log 8b^{-2} \\
{}^3\!\log b &= {}^3\!\log 8b^{-2} \\
b &= 8b^{-2} \\
b^{3} &= 8 \\
b &= 2 \\
\hline
a & = b^{-2}=2^{-2}=\dfrac{1}{4} \\
4a+b & = 4 \left( \dfrac{1}{4} \right) + 2 \\
& = 3
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 3$
22. Soal SIMAK UI 2010 Kode 208 (*Soal Lengkap)
Jika diketahui ${}^a\!\log b + \left( {}^a\!\log b \right)^{2} + \left( {}^a\!\log b \right)^{3} + \cdots =2$, maka $ {}^a\!\log b + {}^b\!\log \sqrt[3]{a^{2}}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & \dfrac{3}{2} \\
(C)\ & \dfrac{5}{3} \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 3
\end{align}$
Untuk menyelesaikan soal ini kita tidak hanya perlu beberapa sifat logaritma yang harus sudah kita pahami, tetapi juga perlu jumlah deret tak hingga konvergen.
Deret ${}^a\!\log b + \left( {}^a\!\log b \right)^{2} + \left( {}^a\!\log b \right)^{3} + \cdots =2$ adalah deret geometri tak hingga yang konvergen dimana $U_{1}={}^a\!\log b$ dan $r={}^a\!\log b$ sehingga berlaku;
$\begin{align}
S_{\infty } &= \dfrac{a}{1-r} \\
2 &= \dfrac{{}^a\!\log b}{1-{}^a\!\log b} \\
2 &= \dfrac{{}^a\!\log b}{{}^a\!\log a-{}^a\!\log b} \\
2 &= \dfrac{{}^a\!\log b}{{}^a\!\log \dfrac{a}{b} } \\
2 \cdot {}^a\!\log \dfrac{a}{b} &= {}^a\!\log b \\
{}^a\!\log \left( \dfrac{a}{b} \right)^{2}&= {}^a\!\log b \\
\left( \dfrac{a}{b} \right)^{2}&= b \\
a^{2} &= b \cdot b^{2} \\
a^{2} &= b^{3} \\
a^{\frac{2}{3}} &= b
\end{align}$
Nilai dari
$\begin{align}
{}^a\!\log b + {}^b\!\log \sqrt[3]{a^{2}} &= {}^a\!\log a^{\frac{2}{3}} + {}^b\!\log \sqrt[3]{b^{3}} \\
&= \dfrac{2}{3} \cdot {}^a\!\log a + {}^b\!\log b \\
&= \dfrac{2}{3} + 1 = \dfrac{5}{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{5}{3}$
23. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)
Jika $log\ x=6$ dan $log\ y=12$, maka nilai $\sqrt{log\ \sqrt{x\sqrt{y\sqrt{x\sqrt{y\sqrt{x\sqrt{y\cdots}}}}}}}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & 4 \\
(C)\ & 8 \\
(D)\ & \sqrt{2} \\
(E)\ & 2\sqrt{2}
\end{align}$
Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang logaritma dan Bentuk akar, antara lain;
- ${}^a\!\log x\ +{}^a\!\log y={}^a\!\log \left(xy \right) $
- ${}^a\!\log a^{n}=n $
$\begin{align}
\text{misal}\ \sqrt{x\sqrt{y\sqrt{x\sqrt{y\sqrt{x\sqrt{y\cdots}}}}}} & = 10^{m} \\
x\sqrt{y\sqrt{x\sqrt{y\sqrt{x\sqrt{y\cdots}}}}} & = 10^{2m} \\
x^{2} y\sqrt{x\sqrt{y\sqrt{x\sqrt{y\cdots}}}} & = 10^{4m} \\
x^{2} y \cdot 10^{m} & = 10^{4m} \\
x^{2} y & = \dfrac{10^{4m}}{10^{m}} \\
x^{2} y & = 10^{3m} \\
log\ \left( x^{2} y \right) & =log\ 10^{3m} \\
log\ x^{2} + log\ y & =3m \cdot log\ 10 \\
2 \cdot log\ x + log\ y & =3m \\
2 \cdot 6 + 12 & =3m \\
24 & =3m \\
8 &= m
\end{align}$
Jika kita kembali kepada soal, kita peroleh:
$\begin{align}
& \sqrt{log\ \sqrt{x\sqrt{y\sqrt{x\sqrt{y\sqrt{x\sqrt{y\cdots}}}}}}} \\
& = \sqrt{log\ 10^{m}} \\
& = \sqrt{log\ 10^{8}} \\
& = \sqrt{8} \\
& = 2\sqrt{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 2\sqrt{2}$
24. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Diketahui sistem persamaan
$\left\{\begin{matrix}
4^{x}+5^{y}=6 \\
4^{\frac{x}{y}} = 5
\end{matrix}\right.$
Nilai $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & {}^3\!\log 4 \\
(B)\ & {}^3\!\log 20 \\
(C)\ & {}^3\!\log 5 \\
(D)\ & {}^3\!\log 25 \\
(E)\ & {}^3\!\log 6
\end{align}$
Dari sistem persamaan yang disampaikan di atas, kita mungkin butuh sedikit catatan calaon guru tentang logaritma yaitu:
- ${}^a\!\log x\ +{}^a\!\log y={}^a\!\log \left (x\cdot y \right )$
- ${}^a\!\log x= \dfrac{1}{{}^x\!\log a} $
$\begin{align}
4^{x}+5^{y} &= 6 \\
5^{y}+5^{y} &= 6 \\
2 \cdot 5^{y} &= 6 \\
5^{y} &= 3 \\
{}^5\!\log 3= y \\
\hline
4^{x} &= 5^{y}\\
4^{x} &= 5^{{}^5\!\log 3}\\
4^{x} &= 3 \\
{}^4\!\log 3= x
\end{align}$
$\begin{align}
\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} &= \dfrac{1}{{}^4\!\log 3}+\dfrac{1}{{}^5\!\log 3} \\
&= {}^3\!\log 4 + {}^3\!\log 5 \\
&= {}^3\!\log (4 \cdot 5) \\
&= {}^3\!\log 20
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ {}^3\!\log 20$
Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras- lembar jawaban penilaian harian matematika,
- lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
- presentasi hasil diskusi matematika atau
- pembahasan quiz matematika di kelas.
Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊
Video pilihan khusus untuk Anda 😊 Masih menganggap matematika hanya hitung-hitungan semata, mari kita lihat kreativitas siswa ini;
