Pythagoras: Sejarah, Teorema dan Tripel Pythagoras
Monday, August 14, 2017
Hari ini, Selasa 15 Agustus 2017 merupakan hari yang istimewa, ada yang tahu alasannya kenapa? Hari kemerdekaan? no no ... itu masih 2 hari lagi bro 😁
saya kasih clue, coba apa keterkaitan tanggal 15-8-17 dengan judul postingan ini? yups, tepat banget... $15, 8, 17$ merupakan tripel Pythagoras, gak percaya? coba kita hitung (boleh pake kalkulator, hehe)
$$\begin{align*}15^2+8^2&=17^2\\225+64&=289\\289&=289\hspace{2cm}\blacksquare\end{align*}$$
Sekarang percaya kan? 😁
Saya percaya bro sist yang baca tulisan ini sudah tidak asing dengan teorema Pythagoras: $a^2+b^2=c^2$, toh materi ini suduh dipelajari bahkan saat kita masih di bangku sekolah dasar, sederhana namun powerfull. Namun apakah kalian tau beberapa hal menarik di balik teorema tersebut? untuk itu jangan lewatkan tulisan ini dan baca sampai selesai, beberapa hal yang akan di bahas pada tulisan ini diantaranya:
- Sejarah singkat Pythagoras
- Apa itu teorema Pythagoras?
- Fakta unik di balik teorema Pythagoras
- Kenapa tripel Pythagoras begitu penting dan bagaimana cara menentukan tripel Pythagoras?
Oh ya, mungkin di antara kalian banyak yang mengenal Teorema Pythagoras dengan sebutan "Rumus Pythagoras" atau "Dalil Pythagoras".
1. Sejarah Singkat Pythagoras
Pythagoras adalah seorang matematikawan yang lahir pada tahun 570 sebelum masehi di pulau Samos, Yunani. Konon katanya, Phytagoras merupakan seseorang yang "haus" dengan ilmu, bahkan selama hidupnya dia sering berkelana ke berbagai tempat seperti Mesir dan Babilonia untuk mengumpulan ilmu pada peradaban dari tempat-tempat yang ia kunjungi, sampai akhirnya dia tiba di sebuah kota di Italia bernama Crotone, dan dia pun menetap di sana. Di kota inilah Pythagoras beserta pengikut-pengikutnya mendirikan sebuah sekolah/gerakan bernama Pythagorean. Di sekolah tersebut, Pythagoras beserta para pengikutnya (murid-muridnya) meyakini bahwa segala sesuatu di alam semesta ini dapat dinyatakan dalam bilangan-bilangan. Karena itu, Pyhtagoras beserta para pengikutnya begitu memuja angka dan perbandingan-perbandingan yang bisa dinyatakan oleh angka-angka tersebut. Bahkan mereka meyakini keharmonisan di dunia ini terjadi karena angka, dan segala sesuatu dapat di ukur dalam siklus ber-ritme. Hingga pada suatu hari (500 tahun sebelum masehi), salah satu pengikut Phytagoras bernama Hippasus menemukan bilangan $\sqrt{2}$ sebagai hipotenusa sebuah segitiga siku-siku dan berhasil menunjukkan bahwa:
Perlu diingat, pada masa itu mereka belum mengenal bilangan irasional. Penemuan Hippasus ini tentu bertentangan dengan keyakinan para pengikut Pythagoras yang meyakini bahwa segalanya dapat dinyatakan dalam rasio bilangan asli, karena para pengikut Phytagoras tidak dapat membantah penemuan Hippasus, menurut legenda akhirnya para pengikut Phytagoras menenggelamkan Hippasus ke laut. Penemuan Hippasus inilah yang dipercaya awal mula dikenalnya bilangan irasional.
2. Apa itu teorema Pythagoras?
Sebenarnya awal mula saya membuat tulisan ini sama sekali tidak ada rencana untuk membahas teoremanya, karena saya percaya bro sist yang membaca artikel ini sudah paham betul tentang teorema phytagoras, tapi tak apalah, anggap saja untuk me-refresh kembali ingatan kita tentang teorema ini. Boleh juga kalian skip bagian ini, hehe...
Misal kita mempunyai sebuah segitiga siku-siku $ABC$ dengan sisi-sisi $a, b$ dan $c$, seperti pada gambar berikut:
Jika panjang dua sisi pada segitiga siku-siku diketahui, maka dengan teorema Pythagoras kita bisa menemukan panjang sisi ketiga
$$c=\sqrt{a^2+b^2}\\a=\sqrt{c^2-b^2}\\b=\sqrt{c^2-a^2}$$
Contoh soal:
Sebuah tangga dengan panjang 10 m di sandarkan pada dinding. Jika ketinggian ujung tangga pada dinding dari lantai adalah 8 m, berapakah jarak ujung tangga pada lantai terhadap dinding?
Jawab:
Jika jarak ujung tangga pada lantai terhadap dinding kita misalkan sebagai $x$, maka dengan menggunakan teorema Pythagoras kita peroleh:
$$\begin{align*}x&=\sqrt{10^2-8^2}\\&=\sqrt{100-64}\\&=\sqrt{36}\\&=6\end{align*}$$
Jadi, jarak ujung tangga pada lantai terhadap dinding adalah 6 m.
Baca Juga : Golden Ratio, lebih dari 2400 tahun memikat perhatian para intelektual
Bukti Teorema Phytagoras
Animasi di atas merupakan salah satu bukti keshahihan teorema Pythagoras, sebenarnya banyak sekali cara lain pembuktian teorema Pythagoras, bahkan kata om Wiki (wikipedia) ada lebih dari 320 pembuktian.
Teorema Pythagoras, simple tapi powerfull
Pada awal artikel ini saya mengatakan bahwa teorema phytagoras merupakan teorema yang sederhana namun powerfull. Ada yang tau kenapa?
Teorema Pythagoras menjadi dasar perhitungan teorema yang lain, salah satu nya trigonometri. Tidak bisa dibayangkan, seandainya tidak ada teorema pythagoras, mungkin tidak ada trigonometri, sementara trigonometri digunakan pada berbagai bidang ilmu terapan, seperti arsitektur, sains, astronomi, geologi, ilmu kelautan dan lain sebagainya. Jika tak ada teorema Pythagoras, mungkin tidak ada peradaban seperti yang kita rasakan sekarang, dan mungkin artikel ini tidak pernah saya buat karena kita tidak mengenal yang namanya komputer, hehe... luar biasa dahsyat kan?
Ada beberapa fakta menarik dibalik teorema Pythagoras, diantaranya:
sabar-sabar... tarik nafas dulu... lepaskan... hehe, sekarang simak baik-baik
Teorema Pythagoras sudah ada Ribuan Tahun Sebelum Pythagoras Lahir
Dalil/Teorema merupakan suatu pernyataan yang bisa dibuktikan kebenaran atau keshahihannya, sementara rumus merupakan representasi matematis dari suatu teorema.
1. Sejarah Singkat Pythagoras
Pythagoras adalah seorang matematikawan yang lahir pada tahun 570 sebelum masehi di pulau Samos, Yunani. Konon katanya, Phytagoras merupakan seseorang yang "haus" dengan ilmu, bahkan selama hidupnya dia sering berkelana ke berbagai tempat seperti Mesir dan Babilonia untuk mengumpulan ilmu pada peradaban dari tempat-tempat yang ia kunjungi, sampai akhirnya dia tiba di sebuah kota di Italia bernama Crotone, dan dia pun menetap di sana. Di kota inilah Pythagoras beserta pengikut-pengikutnya mendirikan sebuah sekolah/gerakan bernama Pythagorean. Di sekolah tersebut, Pythagoras beserta para pengikutnya (murid-muridnya) meyakini bahwa segala sesuatu di alam semesta ini dapat dinyatakan dalam bilangan-bilangan. Karena itu, Pyhtagoras beserta para pengikutnya begitu memuja angka dan perbandingan-perbandingan yang bisa dinyatakan oleh angka-angka tersebut. Bahkan mereka meyakini keharmonisan di dunia ini terjadi karena angka, dan segala sesuatu dapat di ukur dalam siklus ber-ritme. Hingga pada suatu hari (500 tahun sebelum masehi), salah satu pengikut Phytagoras bernama Hippasus menemukan bilangan $\sqrt{2}$ sebagai hipotenusa sebuah segitiga siku-siku dan berhasil menunjukkan bahwa:
"Tidak ada bilangan rasional yang jika dikuadratkan maka hasilnya sama dengan 2"
Perlu diingat, pada masa itu mereka belum mengenal bilangan irasional. Penemuan Hippasus ini tentu bertentangan dengan keyakinan para pengikut Pythagoras yang meyakini bahwa segalanya dapat dinyatakan dalam rasio bilangan asli, karena para pengikut Phytagoras tidak dapat membantah penemuan Hippasus, menurut legenda akhirnya para pengikut Phytagoras menenggelamkan Hippasus ke laut. Penemuan Hippasus inilah yang dipercaya awal mula dikenalnya bilangan irasional.
2. Apa itu teorema Pythagoras?
Sebenarnya awal mula saya membuat tulisan ini sama sekali tidak ada rencana untuk membahas teoremanya, karena saya percaya bro sist yang membaca artikel ini sudah paham betul tentang teorema phytagoras, tapi tak apalah, anggap saja untuk me-refresh kembali ingatan kita tentang teorema ini. Boleh juga kalian skip bagian ini, hehe...
Misal kita mempunyai sebuah segitiga siku-siku $ABC$ dengan sisi-sisi $a, b$ dan $c$, seperti pada gambar berikut:
Menurut teorema pythagoras, jumlah kuadrat sisi-sisi yang saling tegak lurus pada segitiga siku-siku (sisi siku-siku) sama dengan kuadrat sisi hipotenusanya (sisi miringnya).
secara matematis, bisa di tulis:
$a^2+b^2=c^2$
Jika panjang dua sisi pada segitiga siku-siku diketahui, maka dengan teorema Pythagoras kita bisa menemukan panjang sisi ketiga
$$c=\sqrt{a^2+b^2}\\a=\sqrt{c^2-b^2}\\b=\sqrt{c^2-a^2}$$
Contoh soal:
Sebuah tangga dengan panjang 10 m di sandarkan pada dinding. Jika ketinggian ujung tangga pada dinding dari lantai adalah 8 m, berapakah jarak ujung tangga pada lantai terhadap dinding?
Jawab:
$$\begin{align*}x&=\sqrt{10^2-8^2}\\&=\sqrt{100-64}\\&=\sqrt{36}\\&=6\end{align*}$$
Jadi, jarak ujung tangga pada lantai terhadap dinding adalah 6 m.
Baca Juga : Golden Ratio, lebih dari 2400 tahun memikat perhatian para intelektual
Bukti Teorema Phytagoras
Teorema Pythagoras, simple tapi powerfull
Pada awal artikel ini saya mengatakan bahwa teorema phytagoras merupakan teorema yang sederhana namun powerfull. Ada yang tau kenapa?
Teorema Pythagoras menjadi dasar perhitungan teorema yang lain, salah satu nya trigonometri. Tidak bisa dibayangkan, seandainya tidak ada teorema pythagoras, mungkin tidak ada trigonometri, sementara trigonometri digunakan pada berbagai bidang ilmu terapan, seperti arsitektur, sains, astronomi, geologi, ilmu kelautan dan lain sebagainya. Jika tak ada teorema Pythagoras, mungkin tidak ada peradaban seperti yang kita rasakan sekarang, dan mungkin artikel ini tidak pernah saya buat karena kita tidak mengenal yang namanya komputer, hehe... luar biasa dahsyat kan?
3. Fakta unik di balik teorema Pythagoras
Ada beberapa fakta menarik dibalik teorema Pythagoras, diantaranya:
- Pythagoras bukanlah orang pertama yang menemukan perhitungan ini.
- Teorema Pythagoras yang kita kenal saat ini berbeda dengan teorema Pythagoras pada masa Pythagoras masih hidup (masa Yunani Kuno)
W.O.W sungguh fakta yang mengejutkan bukan? lalu siapakah penemu teorema Pythagoras sebenarnya? kenapa dinamai teorema Pythagoras? memang apa bedanya teorema Pythagoras dulu dengan sekarang?
sabar-sabar... tarik nafas dulu... lepaskan... hehe, sekarang simak baik-baik
Teorema Pythagoras sudah ada Ribuan Tahun Sebelum Pythagoras Lahir
Menurut catatan sejarah, ribuan tahun sebelum Pythagoras lahir, orang-orang pada peradaban Babilonia, Mesir, India dan juga Cina Kuno telah mengenal relasi antar sisi-sisi pada segitiga siku-siku, salah satu bukti sejarah adalah dengan ditemukannya tablet dari peradaban babilonia yang dikenal dengan Plimpton 322 (Bukan tablet android lho ya... 😅 ). Pada tablet tersebut banyak ditemukan kombinasi tiga angka yang memenuhi teorema , tiga kombinasi angka tersebut kita kenal saat ini sebagai Tripel Pythagoras.
inilah bentuk tablet bangsa babilonia tersebut:
dan ini hasil terjemahannya:
Sekarang masuk akal, kenapa bangsa kuno seperti mesir mampu membuat bangunan luar biasa seperti piramida yang kita kenal saat ini yang syarat dengan perhitungan matematis, cara berpikir mereka saat itu jauh lebih maju dari yang kita bayangkan.
Jika bukan Pythagoras penemunya, lalu kenapa diberi nama Teorema Pythagoras?
Pythagoras adalah orang pertama yang membawa teorema tersebut ke peradaban Yunani, yang pada masa itu Yunani dikenal sebagai pusat ilmu pengetahuan. Oleh sebab itu nama Pythagoras mendapat kredit/penghargaan atas teorema tersebut sehingga teorema tersebut diberi nama "teorema Pythagoras", bahkan Pythagoras juga diusung sebagai orang pertama yang mendokumentasikan dan membuktikan teorema tersebut secara sistematis. Konon katanya, saking senangnya dengan penghargaan tersebut, Pythagoras sampai mengorbankan 100 ekor sapi. wow dahsyat... 😀
Apa Bedanya Teorema Pythagoras Dulu (Masa Yunani Kuno) dengan Teorema Pythagoras Sekarang (Teorema Pythagoras Modern)
Udah paham kan bedanya?
Masih ingat kan pada saat itu mereka belum mengenal bilangan irasional?
Definisi Tripel Pythagoras
Tripel Pythagoras merupakan tiga buah bilangan yang memenuhi teorema Pythagoras. Misal jika teorema Pythagoras kita nyatakan dengan $a^2+b^2=c^2$, maka $a, b$ dan $c$, merupakan tripel Pythagoras.
Beberapa contoh tripel Pythagoras: $(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25)$ dan sebagainya. Baik untuk guru, maupun peserta didik, tripel Pythagoras ini penting untuk diketahui.
Mengapa Tripel Pythagoras Penting untuk Diketahui?
Perhatikan contoh soal berikut:
Cara menentukan bilangan tripel Pythagoras adalah sebagai berikut:
untuk $m$ ganjil, maka $m, \frac{1}{2}\left(m^2-1\right)$, dan $\frac{1}{2}\left(m^2+1\right)$ merupakan tripel Pythagoras
untuk $m$ genap, maka $2m, m^2-1$ dan $m^2+1$ merupakan tripel Pythagoras.
sebagai contoh, kita ambil sembarang $m$, misal kita ambil $m=4$, karena $m$ genap, maka formula tripel Pythagoras yang kita gunakan adalah $2m, m^2-1, m^2+1$, dengan mensubstitusi nilai $m=4$ maka kita peroleh pasangan tripel Pythagoras $(8, 15, 17)$. Cukup mudah bukan?
Oh ya, perlu diketahui juga bahwa kelipatan pasangan tripel Pythagoras, pasti merupakan tripel Pythagoras juga, dengan catatan setiap bilangan memiliki rasio yang sama. Sebagai contoh, kita telah mengetahui bahwa $(3, 4, 5)$ merupakan tripel Pythagoras, maka $(6, 8, 10), (9, 12, 15), (12, 16, 20)$ merupakan tripel Pythagoras juga. Namun bedanya $(3, 4, 5)$ merupakan tripel Pythagoras Dasar, namun $(6, 8, 10), (9, 12, 15), (12, 16, 20)$ bukan merupakan tripel Pythagoras Dasar, maksud dari tripel Pythagoras dasar adalah tripel Pythagoras yang bukan merupakan kelipatan dari tripel Pythagoras lain.
Bukti matematis bahwa kelipatan tripel Pythagoras merupakn tripel Pythagoras juga:
Misal $a, b, c$ merupakan tripel Pythagoras, dan $k$ bilangan bulat sembarang. Akan dibuktikan bahwa $ka, kb, kc$ merupakan tripel Pythagoras juga
$$\begin{align*}a^2+b^2&=c^2\\(ka^2)+(kb)^2&=(kc)^2\\k^2a^2+k^2b^2&=k^2c^2\\k^2(a^2+b^2)&=k^2c^2\\a^2+b^2&=c^2\hspace{1cm}\blacksquare\end{align*}$$
Sifat-sifat Bilangan Tripel Pythagoras Dasar
misal $a, b, c$ merupakan pasangan tripel Pythagoras Dasar yang memenuhi $a^2+b^2=c^2$, maka berlaku:
1. $a$ dan $b$ tidak mungkin keduanya genap.
2. $a$ dan $b$ tidak mungkin keduanya ganjil.
3. $c$ adalah bilangan ganjil.
Semoga bermanfaat
$\blacksquare$ Denih Handayani, 15 Agustus 2017.
Teorema phytagoras yang kita kenal saat ini (Teorema Pythagoras Modern) kita tafsirkan sebagai relasi panjang dari sisi-sisi segitiga siku-siku, namun kenyataannya ketika Pythagoras masih hidup, teorema tersebut tidak ditafsirkan demikian. Pythagoras sendiri menafsirkan teorema tersebut bukan sebagai relasi sisi-sisi pada segitiga siku-siku, namun relasi antar luas persegi atau bujur sangkar yang terbentuk di setiap sisi-sisi segitiga siku-siku. Biar lebih jelas, perhatikan gambar berikut:
Masih ingat kan pada saat itu mereka belum mengenal bilangan irasional?
Seandainya pada saat itu teorema Pythagoras ditafsirkan sebagai relasi antar sisi pada segitiga siku-siku, maka phytagoras haruslah berurusan dengan bilangan irasional.
Misal, phytagoras menemukan sebuah segitiga dengan sisi-sisi siku-sikunya adalah $1$ dan $2$, maka berapa panjang hipotenusanya? jelas $\sqrt{5}$. Sementara $\sqrt{5}$ adalah bilangan irasional. Jangankan alat bantu untuk menghitungnya seperti kalkulator, pada saat itu simbol akar kuadrat aja belum ada, simbol akar kuadrat baru diperkenalkan oleh Christoph Rudolff sekitar 2000 tahun setelah Phytagoras lahir, jelas doi udah gak ada... pada kasus tadi, Pythagoras hanya tau hipotenusa segitiga tersebut hanya berupa segmen garis dari segitiga siku-siku, dia gak tau berapa nilai dari $\sqrt{5}$
4. Tripel Pythagoras
Definisi Tripel Pythagoras
Tripel Pythagoras merupakan tiga buah bilangan yang memenuhi teorema Pythagoras. Misal jika teorema Pythagoras kita nyatakan dengan $a^2+b^2=c^2$, maka $a, b$ dan $c$, merupakan tripel Pythagoras.
Beberapa contoh tripel Pythagoras: $(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25)$ dan sebagainya. Baik untuk guru, maupun peserta didik, tripel Pythagoras ini penting untuk diketahui.
Mengapa Tripel Pythagoras Penting untuk Diketahui?
Perhatikan contoh soal berikut:
Diketahui sebuah segitiga siku-siku $ABC$ siku-siku di $C$, jika panjang $AB=10$, $BC=6$ dan $AC=7$ tentukan besar sudut $BAC$.
Sekilas, mungkin kita tidak menyadari "hal aneh" dari soal tersebut, namun jika kita perhatikan, jelas soal tersebut tidak valid. Pada soal tersebut diketahui segitiga $ABC$ merupakan segitiga siku-siku, namun ternyata panjang sisi-sisinya bukan tripel Pythagoras. Kesalahan fatal bukan?
Cara Menentukan Bilangan Tripel Pythagoras
Cara Menentukan Bilangan Tripel Pythagoras
Cara menentukan bilangan tripel Pythagoras adalah sebagai berikut:
untuk $m$ ganjil, maka $m, \frac{1}{2}\left(m^2-1\right)$, dan $\frac{1}{2}\left(m^2+1\right)$ merupakan tripel Pythagoras
untuk $m$ genap, maka $2m, m^2-1$ dan $m^2+1$ merupakan tripel Pythagoras.
Dengan mengetahui formula di atas, maka kita tidak perlu menghafal pasangan-pasangan bilangan tripel Pythagoras.
Oh ya, perlu diketahui juga bahwa kelipatan pasangan tripel Pythagoras, pasti merupakan tripel Pythagoras juga, dengan catatan setiap bilangan memiliki rasio yang sama. Sebagai contoh, kita telah mengetahui bahwa $(3, 4, 5)$ merupakan tripel Pythagoras, maka $(6, 8, 10), (9, 12, 15), (12, 16, 20)$ merupakan tripel Pythagoras juga. Namun bedanya $(3, 4, 5)$ merupakan tripel Pythagoras Dasar, namun $(6, 8, 10), (9, 12, 15), (12, 16, 20)$ bukan merupakan tripel Pythagoras Dasar, maksud dari tripel Pythagoras dasar adalah tripel Pythagoras yang bukan merupakan kelipatan dari tripel Pythagoras lain.
Bukti matematis bahwa kelipatan tripel Pythagoras merupakn tripel Pythagoras juga:
Misal $a, b, c$ merupakan tripel Pythagoras, dan $k$ bilangan bulat sembarang. Akan dibuktikan bahwa $ka, kb, kc$ merupakan tripel Pythagoras juga
$$\begin{align*}a^2+b^2&=c^2\\(ka^2)+(kb)^2&=(kc)^2\\k^2a^2+k^2b^2&=k^2c^2\\k^2(a^2+b^2)&=k^2c^2\\a^2+b^2&=c^2\hspace{1cm}\blacksquare\end{align*}$$
Sifat-sifat Bilangan Tripel Pythagoras Dasar
misal $a, b, c$ merupakan pasangan tripel Pythagoras Dasar yang memenuhi $a^2+b^2=c^2$, maka berlaku:
1. $a$ dan $b$ tidak mungkin keduanya genap.
2. $a$ dan $b$ tidak mungkin keduanya ganjil.
3. $c$ adalah bilangan ganjil.
Semoga bermanfaat
$\blacksquare$ Denih Handayani, 15 Agustus 2017.
Sumber:
1. https://www.zenius.net/blog/13381/sejarah-teorema-pythagoras
2. https://id.wikipedia.org/wiki/Teorema_Pythagoras
3. https://id.wikipedia.org/wiki/Pythagoras
4. https://bermatematika.net/2016/04/11/tripel-pythagoras/