Menentukan Nilai Eksak Fungsi Trigonometri sudut $15^\circ$ dan $75^\circ$ Tanpa Rumus (Secara Geometri)
Friday, August 11, 2017
Gambar dari Pak Sulaeman (http://menulislatex.blogspot.com)
Pada tulisan sebelumnya saya sudah membahas bagaimana cara menentukan nilai eksak fungsi trigonometri sudut $15^\circ$ dan $75^\circ$ menggunakan rumus jumlah dan selisih sudut serta rumus setengah sudut, nah kali ini saya share alternatif lain, yaitu menentukan nilai eksak fungsi trigonometri sudut $15^\circ$ dan $75^\circ$ secara geometri, materi prasyarat yang wajib dikuasai cuma teorema phytagoras dan perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku. Cara ini relatif mudah, silahkan disimak dan dipahami 😀
Langkah pertama, buat sebuah segitiga siku-siku dengan ukuran sudut-sudut nya $60^\circ$, $30^\circ$, dan $90^\circ$ (seperti pada gambar di bawah ini)
Lho, panjang sisi-sisi segitiga tersebut dapat dari mana? :) begini penjelasannya:
Misal, panjang sisi $BC=1$ satuan panjang, dengan meggunakan nilai trigonometri sudut $60^\circ$ atau $30^\circ$ maka panjang $AB$ dan $AC$ bisa kita peroleh:
$\begin{align*}\sin{30^\circ}&=\frac{BC}{AC}\\\frac{1}{2}&=\frac{1}{AC}\\AC&=2\end{align*}$
$AB=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$
Langkah kedua, buatlah sebuah titik pada perpanjangan $AB$ (misal titik $D$) sedemikian rupa sehingga saat titik tersebut dihubungkan dengan titik $A$ dan $C$ maka $\angle CDA = \angle ACD =15^\circ$, untuk lebih jelas perhatikan gambar berikut:
Perhatikan segitiga $DAC$, $\angle CDA=\angle ACD$, dengan demikian segitiga $DAC$ merupakan segitiga sama kaki, maka panjang sisi $DA=AC=2$.
$DB=DA+AB=2+\sqrt{3}$
$\begin{align*}DC&=\sqrt{DB^2+BC^2}\\&=\sqrt{\left(2+\sqrt{3}\right)^2+1^2}\\&=\sqrt{8+4\sqrt{3}}\\&=\sqrt{8+2\sqrt{12}}\\&=\sqrt{6}+\sqrt{2}\end{align*}$
Nah sekarang untuk mencari nilai eksak fungsi trigonometri $15^\circ$ dan $75^\circ$ kita akan menggunakan segitiga di atas:
$\begin{align*}\sin{15^\circ}&=\frac{BC}{CD}\\&=\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}\\&=\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}\times\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{3}}\\&=\frac{1}{4}\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\end{align*}$
$\begin{align*}\cos{15^\circ}&=\frac{BD}{CD}\\&=\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}\\&=\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}\times\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}\\&=\frac{1}{4}\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\end{align*}$
$\begin{align*}\tan{15^\circ}&=\frac{BC}{BD}\\&=\frac{1}{2+\sqrt{3}}\\&=\frac{1}{2+\sqrt{3}}\times\frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\\&=2-\sqrt{3}\end{align*}$
$\begin{align*}\csc{15^\circ}&=\frac{CD}{BC}\\&=\sqrt{6}+\sqrt{2}\end{align*}$
$\begin{align*}\sec{15^\circ}&=\frac{CD}{DB}\\&=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2+\sqrt{3}}\\&=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2+\sqrt{3}}\times\frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\\&=\sqrt{6}-\sqrt{2}\end{align*}$
$\begin{align*}\cot{15^\circ}&=\frac{BD}{BC}\\&=2+\sqrt{3}\end{align*}$
$\begin{align*}\sin{75^\circ}&=\frac{BD}{CD}\\&=\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}\\&=\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}\times\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}\\&=\frac{1}{4}\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\end{align*}$
$\begin{align*}\cos{75^\circ}&=\frac{BC}{CD}\\&=\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}\\&=\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}\times\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{3}}\\&=\frac{1}{4}\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\end{align*}$
$\begin{align*}\tan{75^\circ}&=\frac{BD}{BC}\\&=2+\sqrt{3}\end{align*}$
$\begin{align*}\csc{75^\circ}&=\frac{CD}{DB}\\&=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2+\sqrt{3}}\\&=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2+\sqrt{3}}\times\frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\\&=\sqrt{6}-\sqrt{2}\end{align*}$
$\begin{align*}\sec{75^\circ}&=\frac{CD}{BC}\\&=\sqrt{6}+\sqrt{2}\end{align*}$
$\begin{align*}\cot{75^\circ}&=\frac{BC}{BD}\\&=\frac{1}{2+\sqrt{3}}\\&=\frac{1}{2+\sqrt{3}}\times\frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\\&=2-\sqrt{3}\end{align*}$
Mudah kan? 😁
Jika ada kekeliruan atau salah ketik mohon koreksi ya... isi komentar
Baca Juga: Rangkuman Rumus Trigonometri Lengkap
$\blacksquare$ Denih Handayani, 12 Agustus 2017