Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Lingkaran
Tuesday, March 28, 2017
Catatan calon guru yang kita diskusikan saat ini akan membahas tentang Matematika Dasar Lingkaran. Materi lingkaran, mungkin salah satu materi paling umum kita dengar di matematika. Sejak duduk di Sekolah Dasar, lingkaran sudah diperkenalkan melalui ban sepeda yang sering kita mainkan lalu dihubungkan dengan jari-jari ada roda sepeda.Lingkaran pada tahapan berikut ini akan membahas tentang lingkaran dalam bentuk persamaan lingkaran. Bicara tentang persamaan, maka ada baiknya kita sudah mengenal sedikit tentang matematika dasar persamaan kuadrat, karena lingkaran ini akan memuat banyak bentuk persamaan kuadrat.
Penerapan lingkaran dalam kehidupan sehari-hari juga sangat banyak, yang paling sederhana sudah kita sebutkan di awal yaitu lingkaran pada bagain sepeda. Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada lingkaran juga sangatlah mudah, jika Anda mengikuti step by step yang kita diskusikan dibawah ini, maka anda akan dengan mudah memahami soal-soal lingkaran dan menemukan solusinya.
Kesulitan menganalisa kalimat soal jadi salah satu masalah paling umum dalam diskusi tentang lingkaran. Mudah-mudahan diksusi kita berikut ini menambah pemahaman tentang lingkaran.
Seperti apa tingkat kesulitannya, mari kita simak beberapa sampel soal untuk dibahas yaitu dari soal-soal SBMPTN (Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri) atau SMMPTN (Seleksi Mandiri Masuk Perguruan Tinggi Negeri) dan UN (Ujian Nasional). Soal-soal dan pembahasan tentang lingkaran ini masih jauh dari sempurna, jadi jika ada masukan yang sifatnya membangun silahkan disampaikan.
Sebagai catatan, beberapa aturan dasar sederhana pada Lingkaran berikut ini mungkin membantu dalam menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan lingkaran;
Persamaan Lingkaran
- Pusat $(0,0)$ dengan jari-jari $r$
$\Leftrightarrow $ Persamaan Lingkaran $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ - Pusat $(a,b)$ dengan jari-jari $r$
$\Leftrightarrow $ Persamaan Lingkaran $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ - Persamaan Umum Lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$
$\Leftrightarrow $ Pusat $\left (-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B \right )$ dengan jari-jari $r=\sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C}$
Hubungan Titik $A(p,q)$ Pada lingkaran $L:x^{2}+y^{2}=r^{2}$
- Jika nilai $K=p^{2}+q^{2}$ dan $K \gt r^{2}$ maka titik $A$ di luar $L$;
- Jika nilai $K=p^{2}+q^{2}$ dan $K = r^{2}$ maka titik $A$ tepat pada $L$;
- Jika nilai $K=p^{2}+q^{2}$ dan $K \lt r^{2}$ maka titik $A$ di dalam $L$;
Hubungan Titik $A(p,q)$ Pada lingkaran $L:(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$
- Jika nilai $K=(p-a)^{2}+(q-b)^{2}$ dan $K \gt r^{2}$ maka titik $A$ di luar $L$;
- Jika nilai $K=(p-a)^{2}+(q-b)^{2}$ dan $K = r^{2}$ maka titik $A$ tepat pada $L$;
- Jika nilai $K=(p-a)^{2}+(q-b)^{2}$ dan $K \lt r^{2}$ maka titik $A$ di dalam $L$;
Hubungan Titik $A(p,q)$ Pada lingkaran $L:x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$
- Jika nilai $K=p^{2}+q^{2}+Ap+Bq+C$ dan $K \gt 0$ maka titik $A$ di luar $L$;
- Jika nilai $K=p^{2}+q^{2}+Ap+Bq+C$ dan $K = 0$ maka titik $A$ tepat pada $L$;
- Jika nilai $K=p^{2}+q^{2}+Ap+Bq+C$ dan $K \lt 0$ maka titik $A$ di dalam $L$;
Hubungan garis dengan lingkaran
Misal Jika diketahui persamaan garis $y=mx+n$ dan lingkaran $L:x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$, maka dengan mensubstitusi $y=mx+n$ ke lingkaran $L$ akan diperoleh persamaan kuadrat. Dari persamaan kuadrat persekutuan tersebut kita bisa peroleh nilai $D=b^{2}-4ac$- Jika nilai $D \gt 0$ maka garis memotong lingkaran;
- Jika nilai $D = 0$ maka garis menyinggung lingkaran;
- Jika nilai $D \lt 0$ maka garis tidak memotong dan tidak menyinggung lingkaran;
Persamaan Garis Singgung (PGS) Lingkaran
- Jika diketahui titik singgung $(x_{1},y_{1})$ pada lingkaran
- Persamaan Lingkaran $x^{2}+y^{2}=r^{2}$
$\Leftrightarrow $ PGS: $xx_{1} +yy_{1} =r^{2}$ - Persamaan Lingkaran $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$
$\Leftrightarrow $ PGS: $(x-a)(x_{1}-a)+(y-b)(y_{1}-b)=r^{2}$ - Persamaan Lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$
$\Leftrightarrow $ PGS: $xx_{1} +yy_{1}+\frac{1}{2}A(x+x_{1})+\frac{1}{2}B(y+y_{1})+C=0$ - Jika diketahui gradien garis singgung lingkaran $(m)$
- Persamaan Lingkaran $x^{2}+y^{2}=r^{2}$
$\Leftrightarrow $ PGS: $y=mx\pm r\sqrt{m^{2}+1}$ - Persamaan Lingkaran $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$
$\Leftrightarrow $ PGS: $y-b=m(x-a)\pm r\sqrt{m^{2}+1}$
Jarak Titik ke Garis
Jarak titik $(x_{1},y_{1})$ ke garis $ax+by+c=0$ adalah:$d=\left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right|$
1. Soal SBMPTN 2016 Kode 322 (*Soal Lengkap)
Diketahui dua buah lingkaran dengan titik pusat yang sama, berturut-turut berjari-jari $R_{1}$ dan $R_{2}$ dengan $R_{1}>R_{2}$. Jika panjang tali busur $AB=10$, maka selisih luas lingkaran tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 10 \pi \\
(B)\ & 15 \pi \\
(C)\ & 20 \pi \\
(D)\ & 25 \pi \\
(E)\ & 30 \pi
\end{align}$
Alternatif Pembahasan: 
Dengan memperhatikan gambar diatas, $\bigtriangleup OAB$ adalah segitiga sama kaki. sehingga jika $OC$ merupakan garis tinggi, maka berlaku;
$\begin{align}
OA^{2} & = AC^{2}+OC^{2} \\
R_{1}^{2} & = 5^{2}+R_{2}^{2} \\
R_{1}^{2}-R_{2}^{2} & = 5^{2} \\
R_{1}^{2}-R_{2}^{2} & = 25
\end{align}$
Selisih luas kedua lingkaran adalah $ \pi \left(R_{1}^{2} - R_{2}^{2}\right) = \pi (25)= 25 \pi $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 25 \pi$
Untuk menghitung Selisih luas lingkaran maka perhitungannya adalah;
$\pi R_{1}^{2}-\pi R_{2}^{2} $
$=\pi \left (R_{1}^{2}-R_{2}^{2} \right )$
Sampai pada perhitungan ini kita membutuhkan kuadrat selisih dari jari-jari lingkaran.
$\begin{align}
OA^{2} & = AC^{2}+OC^{2} \\
R_{1}^{2} & = 5^{2}+R_{2}^{2} \\
R_{1}^{2}-R_{2}^{2} & = 5^{2} \\
R_{1}^{2}-R_{2}^{2} & = 25
\end{align}$
Selisih luas kedua lingkaran adalah $ \pi \left(R_{1}^{2} - R_{2}^{2}\right) = \pi (25)= 25 \pi $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 25 \pi$
2. Soal SBMPTN 2016 Kode 234 (*Soal Lengkap)
Titik $(0,b)$ adalah titik potong garis singgung persekutuan luar lingkaran luar $x^{2}+y^{2}=16$ dan $(x-8)^{2}+(y-8)^{2}=16$ dengan sumbu $y$. Nilai $b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 4\sqrt{2} \\
(B)\ & 3\sqrt{2} \\
(C)\ & 2\sqrt{2} \\
(D)\ & 2\sqrt{3} \\
(E)\ & \sqrt{3}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$g_{1}$ dan $g_{3}$ adalah garis singgung persekutuan luar lingkaran, sehingga garis singgung persekutuan luar lingkaran memotong sumbu $y$ di dua titik kemungkinan.
Untuk mengetahui koordinat titik $(0,b)$ kita cari tahu persamaan $g_{1}$ atau $g_{3}$, dapat kita ketahui dengan menggunakan persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat $(0,0)$, $r=4$ dan gradien $m$
$y=mx\pm r\sqrt{1+m^{2}}$
$y=mx\pm 4\sqrt{1+m^{2}}$
Untuk mengetahui gradien $g_{1}$ kita hitung dari gradien $g_{2}$ karena $g_{1}$ sejajar dengan $g_{2}$ sehingga gradiennya sama.
Gradien $g_{2}$
$\begin{align}
m_{2} & = \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} \\
m_{2} & = \frac{8-0}{8-2} \\
m_{2} & = 1 \\
m_{1} & = 1 \\
\end{align}$
Persamaan $g_{1}$ adalah
$y=mx\pm 4\sqrt{1+m^{2}}$
$y=x\pm 4\sqrt{1+1}$
$y=x\pm 4\sqrt{2}$
Saat garis $g_{1}$ memotong sumbu $y$ sehingga $x=0$ maka $y= 4\sqrt{2}$ atau $y= -4\sqrt{2}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 4\sqrt{2}$
Apa yang disampaikan pada soal jika kita gambar, kurang lebih seperti tampak pada gambar berikut ini;
Untuk mengetahui koordinat titik $(0,b)$ kita cari tahu persamaan $g_{1}$ atau $g_{3}$, dapat kita ketahui dengan menggunakan persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat $(0,0)$, $r=4$ dan gradien $m$
$y=mx\pm r\sqrt{1+m^{2}}$
$y=mx\pm 4\sqrt{1+m^{2}}$
Untuk mengetahui gradien $g_{1}$ kita hitung dari gradien $g_{2}$ karena $g_{1}$ sejajar dengan $g_{2}$ sehingga gradiennya sama.
Gradien $g_{2}$
$\begin{align}
m_{2} & = \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} \\
m_{2} & = \frac{8-0}{8-2} \\
m_{2} & = 1 \\
m_{1} & = 1 \\
\end{align}$
Persamaan $g_{1}$ adalah
$y=mx\pm 4\sqrt{1+m^{2}}$
$y=x\pm 4\sqrt{1+1}$
$y=x\pm 4\sqrt{2}$
Saat garis $g_{1}$ memotong sumbu $y$ sehingga $x=0$ maka $y= 4\sqrt{2}$ atau $y= -4\sqrt{2}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 4\sqrt{2}$
3. Soal SBMPTN 2015 Kode 508 (*Soal Lengkap)
Misalkan titik $A$ dan $B$ pada lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x-2y+k=0$ sehingga garis singgung lingkaran di titik $A$ dan $B$ berpotongan di $C(8,1)$. Jika luas segiempat yang melalui $A,B,C,$ dan pusat lingkaran adalah $12$, maka $k=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -1 \\
(B)\ & 0 \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 3
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Luas $PABC$ adalah $\left [ PACB \right ]=OA\cdot AC$
$OA \cdot AC=12$
Dari persamaan lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x-2y+k=0$ kita dapat nilai $r=OA$,
$\begin{align}
r & = \sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C} \\
& = \sqrt{\frac{1}{4}(-6)^{2}+\frac{1}{4}(-2)^{2}-k} \\
& = \sqrt{10-k}
\end{align}$
Begitu juga dari $\bigtriangleup OAC$ kita dapat nilai $AC$.
$\begin{align}
OA^{2}+AC^{2} & = OC^{2} \\
r^{2}+AC^{2} & = 5^{2} \\
AC^{2} & = 5^{2}-r^{2} \\
& = 25-\left (10-k \right ) \\
& = 15+k \\
AC & = \sqrt{15+k}
\end{align}$
$\begin{align}
OA\ \cdot AC & = 12 \\
\sqrt{10-k} \cdot \sqrt{15+k} & = 12 \\
(10-k) \cdot (15+k) & = 144 \\
150-5k-k^{2} & = 144 \\
k^{2}+5k-6 & = 144 \\
(k+6)(k-1) & = 0
\end{align}$
Nilai $k$ yang memenuhi adalah $k=-6$ atau $k=1$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 1$
Apa yang disampaikan pada soal jika kita coba gambar, kurang lebih seperti tampak pada gambar berikut ini;
$OA \cdot AC=12$
Dari persamaan lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x-2y+k=0$ kita dapat nilai $r=OA$,
$\begin{align}
r & = \sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C} \\
& = \sqrt{\frac{1}{4}(-6)^{2}+\frac{1}{4}(-2)^{2}-k} \\
& = \sqrt{10-k}
\end{align}$
Begitu juga dari $\bigtriangleup OAC$ kita dapat nilai $AC$.
$\begin{align}
OA^{2}+AC^{2} & = OC^{2} \\
r^{2}+AC^{2} & = 5^{2} \\
AC^{2} & = 5^{2}-r^{2} \\
& = 25-\left (10-k \right ) \\
& = 15+k \\
AC & = \sqrt{15+k}
\end{align}$
$\begin{align}
OA\ \cdot AC & = 12 \\
\sqrt{10-k} \cdot \sqrt{15+k} & = 12 \\
(10-k) \cdot (15+k) & = 144 \\
150-5k-k^{2} & = 144 \\
k^{2}+5k-6 & = 144 \\
(k+6)(k-1) & = 0
\end{align}$
Nilai $k$ yang memenuhi adalah $k=-6$ atau $k=1$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 1$
4. Soal SBMPTN 2014 Kode 572 (*Soal Lengkap)
Persamaan garis lurus yang melalui titik potong lingkaran-lingkaran yang melalui titik $(-2,-1)$ dan menyinggung sumbu $x$ dan sumbu $y$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x+2y+4=0 \\
(B)\ & x+3y+5=0 \\
(C)\ & x+y+3=0 \\
(D)\ & 2x+y+5=0 \\
(E)\ & 3x+y+7=0
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk lingkaran yang menyinggung sumbu $x$ dan sumbu $y$ mempunyai ciri-ciri khusus yaitu jika jari-jari $r=a$ maka titik pusat hanya ada 4 kemungkinan yaitu $(a,a)$ , $(-a,a)$, $(a,-a)$, dan $(-a,-a)$.
Pada soal dikatakan lingkaran melalui titik $(-2,-1)$ maka lingkaran yang dimaksud berada pada kwadran IV sehingga titik pusat adalah $(-a,-a)$. Persamaan lingkaran adalah
$\left (x-a \right )^{2}+\left (y-b \right )^{2}=r^{2}$
$\left (x+a \right )^{2}+\left (y+a \right )^{2}=a^{2}$
karena lingkaran melaui titik (-2,-1) maka;
$\begin{align}
\left (-2+a \right )^{2}+\left (-1+a \right )^{2} & = a^{2} \\
4-4a+a^{2}+1-2a^{2} & = a^{2} \\
a^{2}-6a+5 & = 0 \\
(a-5)(a-1) & = 0 \\
a & = 1 \\
a & = 5
\end{align}$
Untuk $a=5$, persamaan lingkaran adalah
$\left (x+a \right )^{2}+\left (y+a \right )^{2}=a^{2}$
$\left (x+5 \right )^{2}+\left (y+5 \right )^{2}=5^{2}$
$x^{2}+y^{2}+10x+10y+25=0$
Untuk $a=1$, persamaan lingkaran adalah
$\left (x+a \right )^{2}+\left (y+a \right )^{2}=a^{2}$
$\left (x+1 \right )^{2}+\left (y+1 \right )^{2}=1^{2}$
$x^{2}+y^{2}+2x+2y+1=0$
Untuk mendapatkan persamaan garis yang melalui titik potong dua lingkaran, bisa dengan mengeliminasi kedua persamaan lingkaran.
$\begin{array}{c|c|cc}
x^{2}+y^{2}+10x+10y+25=0 & \\
x^{2}+y^{2}+2x+2y+1=0 & (-) \\
\hline
8x+8y+24=0 & \\
x+ y+3=0
\end{array} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x+y+3=0$
Dua lingkaran yang menyinggung sumbu $x$ dan sumbu $y$ jika kita gambarkan kurang lebih seperti gambar berikut:
Pada soal dikatakan lingkaran melalui titik $(-2,-1)$ maka lingkaran yang dimaksud berada pada kwadran IV sehingga titik pusat adalah $(-a,-a)$. Persamaan lingkaran adalah
$\left (x-a \right )^{2}+\left (y-b \right )^{2}=r^{2}$
$\left (x+a \right )^{2}+\left (y+a \right )^{2}=a^{2}$
karena lingkaran melaui titik (-2,-1) maka;
$\begin{align}
\left (-2+a \right )^{2}+\left (-1+a \right )^{2} & = a^{2} \\
4-4a+a^{2}+1-2a^{2} & = a^{2} \\
a^{2}-6a+5 & = 0 \\
(a-5)(a-1) & = 0 \\
a & = 1 \\
a & = 5
\end{align}$
Untuk $a=5$, persamaan lingkaran adalah
$\left (x+a \right )^{2}+\left (y+a \right )^{2}=a^{2}$
$\left (x+5 \right )^{2}+\left (y+5 \right )^{2}=5^{2}$
$x^{2}+y^{2}+10x+10y+25=0$
Untuk $a=1$, persamaan lingkaran adalah
$\left (x+a \right )^{2}+\left (y+a \right )^{2}=a^{2}$
$\left (x+1 \right )^{2}+\left (y+1 \right )^{2}=1^{2}$
$x^{2}+y^{2}+2x+2y+1=0$
Untuk mendapatkan persamaan garis yang melalui titik potong dua lingkaran, bisa dengan mengeliminasi kedua persamaan lingkaran.
$\begin{array}{c|c|cc}
x^{2}+y^{2}+10x+10y+25=0 & \\
x^{2}+y^{2}+2x+2y+1=0 & (-) \\
\hline
8x+8y+24=0 & \\
x+ y+3=0
\end{array} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x+y+3=0$
5. Soal SBMPTN 2014 Kode 512 (*Soal Lengkap)
Jika lingkaran $x^{2}+y^{2}-2ax+b=0$ mempunyai jari-jari $2$ dan menyinggung $x-y=0$, maka nilai $a^{2}+b$ adalah
$\begin{align}
(A)\ & 12 \\
(B)\ & 8 \\
(C)\ & 4 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 0
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Lingkaran $x^{2}+y^{2}-2ax+b=0$ mempunyai jari-jari $r=2$
$\begin{align}
r & = \sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C} \\
2 & = \sqrt{\frac{1}{4}(-2a)^{2}-b} \\
4 & = a^{2}-b\ \cdots\ (1)
\end{align}$
Lingkaran $x^{2}+y^{2}-2ax+b=0$ menyinggung $y=x$ maka Diskriminan Persamaan Kuadrat persekutuan adalah nol.
$x^{2}+x^{2}-2ax+b=0$
$2x^{2}-2ax+b=0$
$\begin{align}
D & = 0 \\
b^{2}-4ac & = 0 \\
(-2a)^{2}-4(2)(b) & = 0 \\
4a^{2}-8b & = 0 \\
a^{2}-2b & = 0\ \cdots\ (2) \\
\end{align}$
Jika persamaan $(1)$ dan $(2)$ kita eliminasi maka;
$\begin{array}{c|c|cc}
a^{2}-b=4 & \\
a^{2}-2b=0 & (-) \\
\hline
b =4\ &\ a^{2}-b =4 \\
&\ a^{2}-4 =4 \\
&\ a^{2} =8 \\
a^{2}+b=12
\end{array} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 12$
6. Soal UN Matematika IPA 2016 (*Soal Lengkap]
Persamaan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x+4y-12=0$ di titik $(7,-5)$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 4x-3y=43 \\
(B)\ & 4x+3y=23 \\
(C)\ & 3x-4y=41 \\
(D)\ & 10x+3y=55 \\
(E)\ & 4x-5y=53
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Persamaan garis singgung Lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ di titik $\left ( x_{1},y_{1} \right )$ adalah;
$xx_{1}+yy_{1}+\frac{1}{2}Ax+\frac{1}{2}Ax_{1}+\frac{1}{2}By+\frac{1}{2}By_{1}+C=0$
Persamaan garis singgung untuk lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x+4y-12=0$ di titik $(7,-5)$ adalah
$x(7)+y(-5)+\frac{1}{2}(-6)x+\frac{1}{2}(-6)(7)+\frac{1}{2}(4)y+\frac{1}{2}(4)(-5)-12=0$
$7x-5y-3x-21+2y-10-12=0$
$4x-3y=43$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 4x-3y=43$
7. Soal UMB-PT 2014 Kode 573 (*Soal Lengkap]
Jika garis $x=2y+5$ memotong lingkaran $x^{2}+y^{2}-4x+8y+10=0$ di titik $A$ dan $B$, maka panjang ruas garis $AB$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 4 \\
(B)\ & 5 \\
(C)\ & 4\sqrt{2} \\
(D)\ & 2\sqrt{5} \\
(E)\ & 4\sqrt{3}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Titik potong lingkaran dan garis dapat kita ketahui dengan mensubsitusi $x=2y+5$ ke persamaan $x^{2}+y^{2}-4x+8y+10=0$.
$\begin{align}
x^{2}+y^{2}-4x+8y+10 & = 0 \\
(2y+5)^{2}+y^{2}-4(2y+5)+8y+10 & = 0 \\
4y^{2}+20y+25+y^{2}-8y-20+8y+10 & = 0 \\
5y^{2}+20y+15 & = 0 \\
y^{2}+4y+3 & = 0 \\
(y+3)(y+1) & = 0
\end{align}$
$y=-1\ \text{maka}\ x= 2(-1)+5=3$
$y=-3\ \text{maka}\ x= 2(-3)+5=-1$
Kita peroleh titik potong garis dan lingkaran adalah di $A(3,-1)$ dan $B(-1,-3)$, panjang ruas garis $AB$ adalah
$\begin{align}
d & = \sqrt{(-3+1)^{2}+(-1-3)^{2}} \\
& = \sqrt{4+16} \\
& = 2\sqrt{5}
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2\sqrt{5}$
8. Soal UMB-PT 2013 Kode 172 (*Soal Lengkap]
Jika pada lingkaran $L:x^{2}+y^{2}+2x-4y+3=0$ dibuat garis singgung $g$ di titik $(0,1)$ dan garis singgung $h$ di titik $(0,3)$, maka garis $g$ dan $h$ berpotongan di titik...
$\begin{align}
(A)\ & (2,4) \\
(B)\ & (2,3) \\
(C)\ & (1,-1) \\
(D)\ & (1,1) \\
(E)\ & (1,2)
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}+2x-4y+3=0$ di titik $(0,1)$ adalah:
$x(0) +y(1)+\frac{1}{2}(2)(x+0)+\frac{1}{2}(-4)(y+(1))+3=0$
$y +x-2y-2+3=0$
$ x-y =-1$
Garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}+2x-4y+3=0$ di titik $(0,3)$ adalah:
$x(0) +y(3)+\frac{1}{2}(2)(x+0)+\frac{1}{2}(-4)(y+(3))+3=0$
$3y +x-2y-6+3=0$
$ x+y =3$
Titik potong garis $g$ dan $h$ adalah:
$\begin{array}{c|c|cc}
x-y=-1 & \\
x+y =3 & (+) \\
\hline
2x =2 & \\
x =1 & \\
y=2
\end{array} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ (1,2)$
9. Soal SBMPTN 2017 Kode 106 (*Soal Lengkap]
Diketahui suatu lingkaran kecil dengan radius $3\sqrt{2}$ melalui pusat suatu lingkaran besar yang mempunyai radius $6$. Ruas garis yang menghubungkan dua titik potong lingkaran merupakan diameter dari lingkaran kecil, seperti pada gambar. Luas daerah irisan kedua lingkaran adalah ...
$(A)\ 18\pi+18$
$(B)\ 18\pi-18$
$(C)\ 14\pi+14$
$(D)\ 14\pi-15$
$(E)\ 10\pi+10$
Alternatif Pembahasan:
Pada soal diberitahu ruas garis yang menghubungkan dua titik potong lingkaran merupakan diameter dari lingkaran kecil, sehingga gambar dapat kita sajikan seperti berikut;
Dari gambar diatas luas irisan lingkaran adalah luas daerah biru ditambah luas daerah kuning. Kita dapat menghitung luas daerah biru yang merupakan luas setengah lingkaran kecil karena $AC$ merupakan diameter lingkaran kecil.
$\begin{split}
\Rightarrow Luas\ Biru & = \frac{1}{2} \pi r^{2} \\
& = \frac{1}{2} \pi (3\sqrt{2})^{2}\\
& = \frac{1}{2} \pi (18)\\
& = 9 \pi
\end{split}$
Untuk menghitung luas daerah kuning yang merupakan luas tembereng lingkaran yang besar, dapat digunakan dengan menghitung selisih luas juring $ABC$ dengan luas segitiga $ABC$.
Karena $AC$ merupakan diameter sehingga $\measuredangle ABC=90^{\circ}$, sehingga;
$\begin{split}
\Rightarrow Luas\ Juring ABC & = \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \pi r^{2} \\
& = \frac{1}{4} \pi (6)^{2} \\
& = \frac{1}{4} \pi 36 \\
& = 9 \pi\\
\Rightarrow Luas\ \bigtriangleup ABC & = \frac{1}{2} 6 \cdot 6 \\
& = 18 \\
\Rightarrow Luas\ Tembereng & = 9 \pi - 18
\end{split}$
Luas irisan lingkaran $=$ luas biru $+$ luas tembereng $=9 \pi +9 \pi - 18=18 \pi - 18$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 18\pi-18$
Luas daerah irisan kedua lingkaran jika kita arsir kurang lebih gambarnya menjadi sebagai berikut;
$\begin{split}
\Rightarrow Luas\ Biru & = \frac{1}{2} \pi r^{2} \\
& = \frac{1}{2} \pi (3\sqrt{2})^{2}\\
& = \frac{1}{2} \pi (18)\\
& = 9 \pi
\end{split}$
Untuk menghitung luas daerah kuning yang merupakan luas tembereng lingkaran yang besar, dapat digunakan dengan menghitung selisih luas juring $ABC$ dengan luas segitiga $ABC$.
$\begin{split}
\Rightarrow Luas\ Juring ABC & = \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \pi r^{2} \\
& = \frac{1}{4} \pi (6)^{2} \\
& = \frac{1}{4} \pi 36 \\
& = 9 \pi\\
\Rightarrow Luas\ \bigtriangleup ABC & = \frac{1}{2} 6 \cdot 6 \\
& = 18 \\
\Rightarrow Luas\ Tembereng & = 9 \pi - 18
\end{split}$
Luas irisan lingkaran $=$ luas biru $+$ luas tembereng $=9 \pi +9 \pi - 18=18 \pi - 18$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 18\pi-18$
10. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Persamaan lingkaran yang pusatnya terletak pada garis $2x+3y-5=0$ serta menyinggung sumbu $X$ negatif dan sumbu $Y$ positif adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x^{2}+y^{2}+10x-10y+25=0 \\
(B)\ & x^{2}+y^{2}-10x+10y+25=0 \\
(C)\ & x^{2}+y^{2}-10x+10y-15=0 \\
(D)\ & x^{2}+y^{2}+5x+10y+15=0 \\
(E)\ & x^{2}+y^{2}+5x-10y+15=0
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari gambar di atas, dapat kita misalkan pusat lingkaran adalah $(-a,a)$ dan jari-jari $a$. Karena garis $2x+3y-5=0$ melalui pusat lingkaran $(-a,a)$ sehingga berlaku:
$\begin{align}
2x+3y-5 &= 0 \\
2(-a)+3(a)-5 &= 0 \\
a &= 5 \\
\hline
(x-a)^{2}+(y-b)^{2} &=r^{2} \\
(x+a)^{2}+(y-a)^{2} &=5^{2} \\
(x+5)^{2}+(y-5)^{2} &=5^{2} \\
x^{2}+10x+25+y^{2}-10y+25 &=25 \\
x^{2}+y^{2}+10x-10y+25 &=0
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ x^{2}+y^{2}+10x-10y+25=0$
Catatan calon guru tentang Lingkaran yang mungkin kita butuhkan adalah:
- Pusat $(a,b)$ dengan jari-jari $r$
$\Leftrightarrow $ Persamaan Lingkaran $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ - Persamaan Umum Lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$
$\Leftrightarrow $ Pusat $\left (-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B \right )$ dengan jari-jari $r=\sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C}$
$\begin{align}
2x+3y-5 &= 0 \\
2(-a)+3(a)-5 &= 0 \\
a &= 5 \\
\hline
(x-a)^{2}+(y-b)^{2} &=r^{2} \\
(x+a)^{2}+(y-a)^{2} &=5^{2} \\
(x+5)^{2}+(y-5)^{2} &=5^{2} \\
x^{2}+10x+25+y^{2}-10y+25 &=25 \\
x^{2}+y^{2}+10x-10y+25 &=0
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ x^{2}+y^{2}+10x-10y+25=0$
11. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Sebuah lingkaran memiliki pusat $(a,b)$ dengan jari-jari $12$ dan menyinggung garis $3x+4y=5$. Nilai $3a+4b$ yang mungkin adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -65\ \text{dan}\ 75 \\
(B)\ & -60\ \text{dan}\ 70 \\
(C)\ & -55\ \text{dan}\ 65 \\
(D)\ & -50\ \text{dan}\ 60 \\
(E)\ & -45\ \text{dan}\ 55
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
d &=\left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right| \\
12 &=\left| \dfrac{3a+4b-5}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}} \right| \\
12 &=\left| \dfrac{3a+4b-5}{5} \right| \\
\hline
12 &= \dfrac{3a+4b-5}{5} \\
60 &= 3a+4b-5 \\
65 &= 3a+4b \\
\hline
-12 &= \dfrac{3a+4b-5}{5} \\
-60 &= 3a+4b-5 \\
-55 &= 3a+4b \\
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -55\ \text{dan}\ 65$
Catatan calon guru tentang Lingkaran yang mungkin kita butuhkan adalah:
- Pusat $(a,b)$ dengan jari-jari $r$
$\Leftrightarrow $ Persamaan Lingkaran $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ - Jarak titik $(x_{1},y_{1})$ ke garis $ax+by+c=0$ adalah:
$d=\left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right|$
$\begin{align}
d &=\left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right| \\
12 &=\left| \dfrac{3a+4b-5}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}} \right| \\
12 &=\left| \dfrac{3a+4b-5}{5} \right| \\
\hline
12 &= \dfrac{3a+4b-5}{5} \\
60 &= 3a+4b-5 \\
65 &= 3a+4b \\
\hline
-12 &= \dfrac{3a+4b-5}{5} \\
-60 &= 3a+4b-5 \\
-55 &= 3a+4b \\
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -55\ \text{dan}\ 65$
12. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Diketahui titk $P(4,a)$ dan lingkaran $L:x^{2}+y^{2}-8x-2y+1=0$. Jika titik $P$ berada dalam lingkaran $L$, maka nilai $a$ yang mungkin adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 1 \lt a \lt 3 \\
(B)\ & -3 \lt a \lt 5 \\
(C)\ & -5 \lt a \lt -3 \\
(D)\ & 3 \lt a \lt 5 \\
(E)\ & -5 \lt a \lt 3
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Karena titik $P(4,a)$ dalam lingkaran $L:x^{2}+y^{2}-8x-2y+1=0$, maka berlaku:
$\begin{align}
4^{2}+a^{2}-8(4)-2(a)+1 & \lt 0 \\
16+a^{2}-32-2a+1 & \lt 0 \\
a^{2} -2a-15 & \lt 0 \\
(a+3)(a-5) & \lt 0
\end{align}$
Dengan menggunakan cara piral pertidaksamaan kuadrat, nilai $a$ yang memenuhi adalah $-3 \lt a \lt 5$.
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -3 \lt a \lt 5$
Catatan calon guru tentang Lingkaran yang mungkin kita butuhkan adalah:
Hubungan Titik $A(p,q)$ Pada lingkaran $L:x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$
- Jika nilai $K=p^{2}+q^{2}+Ap+Bq+C$ dan $K \gt 0$ maka titik $A$ di luar $L$;
- Jika nilai $K=p^{2}+q^{2}+Ap+Bq+C$ dan $K = 0$ maka titik $A$ tepat pada $L$;
- Jika nilai $K=p^{2}+q^{2}+Ap+Bq+C$ dan $K \lt 0$ maka titik $A$ di dalam $L$;
Karena titik $P(4,a)$ dalam lingkaran $L:x^{2}+y^{2}-8x-2y+1=0$, maka berlaku:
$\begin{align}
4^{2}+a^{2}-8(4)-2(a)+1 & \lt 0 \\
16+a^{2}-32-2a+1 & \lt 0 \\
a^{2} -2a-15 & \lt 0 \\
(a+3)(a-5) & \lt 0
\end{align}$
Dengan menggunakan cara piral pertidaksamaan kuadrat, nilai $a$ yang memenuhi adalah $-3 \lt a \lt 5$.
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -3 \lt a \lt 5$
13. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Jika garis $y=mx+b$ menyinggung lingkaran $x^{2}+y^{2}=1$, maka nilai $b^{2}-m^{2}+1=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -3 \\
(B)\ & -2 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 3
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
x^{2}+y^{2} & = 1 \\
x^{2}+(mx+b)^{2} & = 1 \\
x^{2}+ m^{2}x^{2}+2bmx+b^{2} & = 1 \\
\left(1+ m^{2} \right) x^{2}+2bmx+b^{2}-1 & = 0 \\
\hline
b^{2}-4ac & = 0 \\
\left( 2bm \right)^{2}-4\left(m^{2}+1 \right)\left(b^{2}-1 \right) & = 0 \\
4b^{2}m^{2}-4 m^{2} b^{2}-4b^{2}+4m^{2}+4 & = 0 \\
-4\left( b^{2}-m^{2}-1 \right)& = 0 \\
b^{2}-m^{2}-1 & = 0 \\
b^{2}-m^{2}-1+2 & = 0+2 \\
b^{2}-m^{2}+1 & = 2 \\
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$
Catatan calon guru tentang Lingkaran yang mungkin kita butuhkan adalah:
- Jika nilai $D \gt 0$ maka garis memotong lingkaran;
- Jika nilai $D = 0$ maka garis menyinggung lingkaran;
- Jika nilai $D \lt 0$ maka garis tidak memotong dan tidak menyinggung lingkaran;
$\begin{align}
x^{2}+y^{2} & = 1 \\
x^{2}+(mx+b)^{2} & = 1 \\
x^{2}+ m^{2}x^{2}+2bmx+b^{2} & = 1 \\
\left(1+ m^{2} \right) x^{2}+2bmx+b^{2}-1 & = 0 \\
\hline
b^{2}-4ac & = 0 \\
\left( 2bm \right)^{2}-4\left(m^{2}+1 \right)\left(b^{2}-1 \right) & = 0 \\
4b^{2}m^{2}-4 m^{2} b^{2}-4b^{2}+4m^{2}+4 & = 0 \\
-4\left( b^{2}-m^{2}-1 \right)& = 0 \\
b^{2}-m^{2}-1 & = 0 \\
b^{2}-m^{2}-1+2 & = 0+2 \\
b^{2}-m^{2}+1 & = 2 \\
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$
14. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Jika lingkaran $x^{2}+y^{2}=1$ menyinggung garis $ax+by=2b$, maka $\dfrac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{4} \\
(B)\ & \dfrac{1}{2} \\
(C)\ & \dfrac{3}{4} \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
x^{2}+y^{2} & = 1 \\
x^{2}+\left( 2-\dfrac{ax}{b} \right)^{2} & = 1 \\
x^{2}+4+ \dfrac{a^{2}x^{2}}{b^{2}} - \dfrac{4ax}{b} & = 1 \\
\left( \dfrac{a^{2}}{b^{2}}+1 \right) x^{2} - \dfrac{4a}{b}x + 3 & = 0 \\
\hline
D & = 0 \\
b^{2}-4ac & = 0 \\
\left( \dfrac{4a}{b} \right)^{2}-4\left( \dfrac{a^{2}}{b^{2}}+1 \right)\left( 3 \right) & = 0 \\
\dfrac{16a^{2}}{b^{2}} -12 \left( \dfrac{a^{2}+b^{2}}{b^{2}} \right) & = 0 \\
\dfrac{16a^{2}-12b^{2}-12a^{2}}{b^{2}} & = 0 \\
4a^{2}-12b^{2} & = 0 \\
a^{2} & = 3b^{2}\\
\hline
\dfrac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}} & = \dfrac{3b^{2}}{3b^{2}+b^{2}} \\
& = \dfrac{3b^{2}}{4b^{2}} = \dfrac{3 }{4}
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{3 }{4}$
Catatan calon guru tentang Lingkaran yang mungkin kita butuhkan adalah:
- Jika nilai $D \gt 0$ maka garis memotong lingkaran;
- Jika nilai $D = 0$ maka garis menyinggung lingkaran;
- Jika nilai $D \lt 0$ maka garis tidak memotong dan tidak menyinggung lingkaran;
$\begin{align}
x^{2}+y^{2} & = 1 \\
x^{2}+\left( 2-\dfrac{ax}{b} \right)^{2} & = 1 \\
x^{2}+4+ \dfrac{a^{2}x^{2}}{b^{2}} - \dfrac{4ax}{b} & = 1 \\
\left( \dfrac{a^{2}}{b^{2}}+1 \right) x^{2} - \dfrac{4a}{b}x + 3 & = 0 \\
\hline
D & = 0 \\
b^{2}-4ac & = 0 \\
\left( \dfrac{4a}{b} \right)^{2}-4\left( \dfrac{a^{2}}{b^{2}}+1 \right)\left( 3 \right) & = 0 \\
\dfrac{16a^{2}}{b^{2}} -12 \left( \dfrac{a^{2}+b^{2}}{b^{2}} \right) & = 0 \\
\dfrac{16a^{2}-12b^{2}-12a^{2}}{b^{2}} & = 0 \\
4a^{2}-12b^{2} & = 0 \\
a^{2} & = 3b^{2}\\
\hline
\dfrac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}} & = \dfrac{3b^{2}}{3b^{2}+b^{2}} \\
& = \dfrac{3b^{2}}{4b^{2}} = \dfrac{3 }{4}
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{3 }{4}$
15. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Salah satu persamaan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}-4x+2y=0 $ yang tegak lurus dengan garis $x+2y=5$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & y=2x-2 \\
(B)\ & y=2x-6 \\
(C)\ & y=2x-8 \\
(D)\ & y=2x-10 \\
(E)\ & y=2x-12 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
x^{2}+y^{2}-4x+2y &= 0 \\
x^{2}-4x+y^{2}+2y &= 0 \\
(x-2)^{2}-4+(y+1)^{2}-1 &= 0 \\
(x-2)^{2} +(y+1)^{2} &= 5
\end{align}$
Persamaan garis singgung lingkaran dengan $m=2$ adalah:
$\begin{align}
y-b & = m(x-a)\pm r\sqrt{m^{2}+1} \\
y+1 & = 2(x-2)\pm \sqrt{5} \sqrt{2^{2}+1} \\
y+1 & = 2 x-4 \pm 5 \\
y & = 2 x-5 \pm 5 \\
\hline
y & = 2 x-5 - 5 \\
y & = 2 x-5 + 5 \\
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ y=2x-10$
Catatan calon guru tentang Lingkaran yang mungkin kita butuhkan adalah:
Jika diketahui gradien garis singgung lingkaran $(m)$
- Persamaan Lingkaran $x^{2}+y^{2}=r^{2}$
$\Leftrightarrow $ PGS: $y=mx\pm r\sqrt{m^{2}+1}$ - Persamaan Lingkaran $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$
$\Leftrightarrow $ PGS: $y-b=m(x-a)\pm r\sqrt{m^{2}+1}$
$\begin{align}
x^{2}+y^{2}-4x+2y &= 0 \\
x^{2}-4x+y^{2}+2y &= 0 \\
(x-2)^{2}-4+(y+1)^{2}-1 &= 0 \\
(x-2)^{2} +(y+1)^{2} &= 5
\end{align}$
Persamaan garis singgung lingkaran dengan $m=2$ adalah:
$\begin{align}
y-b & = m(x-a)\pm r\sqrt{m^{2}+1} \\
y+1 & = 2(x-2)\pm \sqrt{5} \sqrt{2^{2}+1} \\
y+1 & = 2 x-4 \pm 5 \\
y & = 2 x-5 \pm 5 \\
\hline
y & = 2 x-5 - 5 \\
y & = 2 x-5 + 5 \\
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ y=2x-10$
Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras- lembar jawaban penilaian harian matematika,
- lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
- presentasi hasil diskusi matematika atau
- pembahasan quiz matematika di kelas.
Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊
Video pilihan khusus untuk Anda 😂 Masih menganggap matematika hitung-hitungan saja, mari kita lihat matematika yang dikemas cukup menghibur pada video berikut;
