Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Limit Tak hingga
Catatan calon guru yang kita diskusikan saat ini akan membahas tentang Matematika Dasar Limit Tak hingga. Tetapi untuk melengkapi matematika dasar limit fungsi, ada dua materi limit yang juga harus kita pahami yaitu Limit Fungsi Aljabar dan Limit Fungsi Trigonometri. Penerapan limit fungsi dalam kehidupan sehari-hari mungkin tidak terlihat langsung tetapi limit fungsi ini merupakan dasar dalam mempelajari turunan dan sampai kepada integral. Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada limit tak hingga juga sangatlah mudah, jika Anda mengikuti step by step yang kita diskusikan dibawah ini, maka anda akan dengan mudah memahami soal-soal limit tak hingga dan menemukan solusinya.
Limit fungsi ini termasuk materi yang sangat penting dalam kehidupan kita sehari-hari. Hanya saja kita tidak sadar ternyata sedang menggunakan konsep limit fungsi.
Contoh sederhananya ketika kita mengukur berat badan dan hasilnya terlihat adalah $70,5\ kg$. Hasil $70,5\ kg$ ini sebenarnya belum hasil pengukuran yang paling tepat tetapi sudah bisa mewakili hasil pengukuran, karena berat badan kita adalah mendekati $70,5\ kg$. Kata "mendekati" adalah salah satu kata kunci dalam belajar limit fungsi.
Limit Fungsi Aljabar ini merupakan dasar atau modal kita dalam mencoba menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan Limit Fungsi Trigonometri, Limit Fungsi Tak hingga, Diferensial Fungsi (Turunan) dan sampai kepada Integral Fungsi.
Beberapa sampel soal Limit Fungsi Tak hingga untuk kita diskusikan kita sadur dari soal-soal SBMPTN (Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri), soal SMMPTN (Seleksi Mandiri Masuk Perguruan Tinggi Negeri), soal UN (Ujian Nasional) atau soal ujian yang dilaksanakan di sekolah.
Pembahasan limit fungsi Tak hingga yang kita jabarkan di bawah ini masih jauh dari sempurna, jadi jika ada masukan yang sifatnya membangun silahkan disampaikan.
Tetapi sebelumnya masalah tentang Limit tak hingga ini berawal dari sebuah pertanyaan siswa yang ditanyakan dengan bahasa inggris, sesuai dengan program sekolah "English Day".
Namanya Ayu Alisia Panjaitan, orangnya cantik manis sopan dan suka menolong, oh iya dan juga suka menabung... "Sir, i have a problem with limit function from SIMAK UI 2009".
Kira-kira seperti itulah pertanyaan yang diberikan oleh Ayu dalam Bahasa Inggris, dan pertanyaan yang diberi adalah sebagai berikut:
Nilai $ \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{4x^2+8x}-\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+x} \right ) \cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{5}{2} \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & \dfrac{3}{2} \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & \dfrac{1}{2}
\end{align}$
Sebelum kita lanjutkan diskusi tentang limit tak hingganya, sedikit kita buat coretan sederhana teorema limit tak hingga;
- $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{a}{x^{n}}=\text{tidak memiliki nilai limit}$; untuk $n$ bilangan asli ganjil
- $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{a}{x^{n}}= \infty $; untuk $n$ bilangan asli genap
- $\lim\limits_{x \to \infty} ax^{n}= \infty $; untuk $n$ bilangan asli
- $\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{k}{x^{n}}= 0 $; untuk $n$ bilangan asli
- $\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{ax^m + a_1x^{m-1} + ...}{bx^n + b_1 x^{n-1} + ....}=\infty $; untuk $m \gt n$ bilangan asli
- $\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{ax^m + a_1x^{m-1} + ...}{bx^n + b_1 x^{n-1} + ....}=\dfrac{a}{b}$; untuk $m=n$ bilangan asli
- $\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{ax^m + a_1x^{m-1} + ...}{bx^n + b_1 x^{n-1} + ....}=0$; untuk $m \lt n$ bilangan asli
- $\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{ax^{2} + bx + c } - \sqrt{ax^{2} + qx + r } = \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}}$
- $\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{ax^{2} + bx + c } - \sqrt{px^{2} + qx + r } = + \infty $; untuk $a \gt p$
- $\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{ax^{2} + bx + c } - \sqrt{px^{2} + qx + r } = - \infty $; untuk $a \lt p$
- $\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt[n]{ax^{n} + bx^{n-1} + \cdots } - \sqrt[n]{ax^{n} + qx^{n-1} + \cdots } = \dfrac{b-q}{ n \cdot \sqrt[n]{a^{n-1}}}$
- $\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt[n]{ax^{n} + bx^{n-1} + \cdots } - \sqrt[n]{px^{n} + qx^{n-1} + \cdots } = \infty$; untuk $a \gt p$
- $\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt[n]{ax^{n} + bx^{n-1} + \cdots } - \sqrt[n]{px^{n} + qx^{n-1} + \cdots } = 0$; untuk $a \lt p$
- $\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{4x^{2} -6x +9 } - \sqrt{4x^{2} + 9x + 1 }$
$\begin{align}
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{\left( 2x-\frac{3}{2} \right)^{2} }-\sqrt{\left( 2x+\frac{9}{4} \right)^{2} } \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \left( 2x-\frac{3}{2} \right)- \left( 2x+\frac{9}{4} \right) \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( 2x-\frac{3}{2} - 2x-\frac{9}{4} \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( -\frac{3}{2} -\frac{9}{4} \right ) \\
& = -\dfrac{15}{4}
\end{align}$ - $\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{4x^2+8x}-\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+x}$
$\begin{align}
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{\left( 2x+\frac{8}{4} \right)^{2} }-\sqrt{\left( x \right)^{2} }-\sqrt{\left( x+\frac{1}{2} \right)^{2} } \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \left( 2x+2 \right)- \left( x \right) - \left( x+\frac{1}{2} \right) \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( 2x+2 - x - x-\frac{1}{2} \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( 2 -\frac{1}{2} \right ) \\
& = \dfrac{3}{2}
\end{align}$
1. Soal SIMAK UI 2009 Kode 914 (*Soal Lengkap)
Nilai $\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{4x^2+8x}-\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+x} \right ) \cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{5}{2} \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & \dfrac{3}{2} \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & \dfrac{1}{2}
\end{align}$
Penyelesaian soal yag kita tampilkan adalah hasil analisis oleh Heryanto Simatupang;
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{4x^2+8x}-\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+x} \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{4x^2+8x}-\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+x} \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{4\left (x^2+2x \right )}-\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+x} \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( 2 \sqrt{\left (x^2+2x \right )}-\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+x} \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left (\sqrt{x^2+2x}+ \sqrt{x^2+2x }-\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+x} \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left (\sqrt{x^2+2x}- \sqrt{x^2+1 } +\sqrt{x^2+2x}-\sqrt{x^2+x} \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left (\sqrt{x^2+2x}- \sqrt{x^2+1 }\right ) +\lim_{x\rightarrow \infty }\left (\sqrt{x^2+2x}-\sqrt{x^2+x} \right ) \\
& = \dfrac{2-0}{2\sqrt{1}}+\dfrac{2-1}{2\sqrt{1}} \\
& = 1+ \dfrac{1}{2} \\
& = \dfrac{3}{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{3}{2}$
2. Soal UM UGM 2003 (*Soal Lengkap)
Nilai dari limit fungsi $ \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{2x^2+5x+6}-\sqrt{2x^2+2x-1}\right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{3}{2}\sqrt{2} \\
(B)\ & \dfrac{3}{4}\sqrt{2} \\
(C)\ & - \dfrac{3}{2}\sqrt{2} \\
(D)\ & - \dfrac{3}{4}\sqrt{2} \\
(E)\ & 3
\end{align}$
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{2x^2+5x+6}-\sqrt{2x^2+2x-1}\right ) \\
& = \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
& = \dfrac{5-2}{2\sqrt{2}} \\
& = \dfrac{3}{2\sqrt{2}} \\
& = \dfrac{3\sqrt{2}}{4} \\
& = \dfrac{3}{4}\sqrt{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{3}{4}\sqrt{2}$
3. Soal UN SMA 2016 (*Soal Lengkap)
Nilai dari limit fungsi $\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{4x^2+4x-3}- \left (2x-5 \right ) \right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -6 \\
(B)\ & -4 \\
(C)\ & -1 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 6
\end{align}$
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{4x^2+4x-3}- \left (2x-5 \right ) \right ) \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{4x^2+4x-3}- \left (2x-5 \right ) \right ) \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{4x^2+4x-3}-\sqrt{ \left (2x-5 \right )^{2}} \right ) \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{4x^2+4x-3}-\sqrt{4x^2-20x+25} \right ) \\
& =\dfrac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
& =\dfrac{4+20}{2\sqrt{4}} \\
& =\dfrac{24}{4} \\
& =6
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 6$
4. Soal SIMAK UI 2010 Kode 203 (*Soal Lengkap)
$ \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{64x^2+ax+7}-8x+b \right )= \dfrac{3}{2} $.
Jika $a$ dan $b$ bilangan bulat positif, maka nilai $a+b$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 5 \\
(B)\ & 9 \\
(C)\ & 12 \\
(D)\ & 16 \\
(E)\ & 24
\end{align}$
$\begin{align}
\dfrac{3}{2} & = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{64x^2+ax+7}-8x+b \right ) \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{64x^2+ax+7}-\left (8x-b \right ) \right ) \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{64x^2+ax+7}-\sqrt{\left (8x-b \right )^{2}}\right ) \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{64x^2+ax+7}-\sqrt{64x^2-16bx+b^{2}}\right ) \\
& =\dfrac{a+16b}{2\sqrt{64}} \\
\dfrac{3}{2} & =\dfrac{a+16b}{16} \\
24 & = a+16b
\end{align}$
Karena $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat positif maka nilai $a$ dan $b$ yang memenuhi persamaan $a+16b= 24$ adalah saat $b=1$ dan $a=8$, maka $a+b=9$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 9$
5. Soal SIMAK UI 2012 Kode 524 (*Soal Lengkap)
$ \lim\limits_{x \to \infty} \left ( 5^{x}+5^{3x} \right )^{\dfrac{1}{x}}= \cdots $.
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & 10 \\
(D)\ & 25 \\
(E)\ & 125
\end{align}$
Soal ini ada keunikan karena rumus-rumus di atas tidak ada membahas yang seperti ini, jadi untuk soal ini kita coba dengan manipulasi aljabar;
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left( 5^{x}+5^{3x} \right)^{\frac{1}{x}} \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \left( 5^{3x} \left( \dfrac{1}{5^{2x}}+1 \right) \right)^{\frac{1}{x}} \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \left( 5^{3x} \right)^{\frac{1}{x}} \left( \dfrac{1}{5^{2x}}+1 \right)^{\frac{1}{x}}\\
& =\lim\limits_{x \to \infty} 5^{3} \left( \dfrac{1}{5^{2x}}+1 \right)^{\frac{1}{x}}\\
& = 125 \left( \dfrac{1}{5^{\infty}}+1 \right)^{\frac{1}{\infty}}\\
& = 125 \left( 0 +1 \right)^{0} \\
& = 125
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 125$
6. Soal SIMAK UI 2010 Kode 508 (*Soal Lengkap)
$ \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{2^{x+1}-3^{x-2}+4^{x+1}}{2^{x-1}-3^{x+1}+4^{x-1}}= \cdots $.
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{16} \\
(B)\ & \dfrac{1}{8} \\
(C)\ & \dfrac{1}{4} \\
(D)\ & 16 \\
(E)\ & 32
\end{align}$
Soal ini ada keunikan karena rumus-rumus di atas dan yang dibahas di buku-buku tidak ada membahas yang seperti ini, jadi untuk soal ini kita coba dengan manipulasi aljabar;
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{2^{x+1}-3^{x-2}+4^{x+1}}{2^{x-1}-3^{x+1}+4^{x-1}} \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{2^{x} \cdot 2^{1} - 3^{x} \cdot 3^{-2}+ 4^{x} \cdot 4^{1}}{2^{x} \cdot 2^{-1}-3^{x} \cdot 3^{1}+4^{x} \cdot 4^{-1}} \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{2^{x} \cdot 2 - 3^{x} \cdot \dfrac{1}{9} + 4^{x} \cdot 4}{2^{x} \cdot \dfrac{1}{2} -3^{x} \cdot 3+4^{x} \cdot \dfrac{1}{4}} \cdot \dfrac{\dfrac{1}{4^{x}}}{\dfrac{1}{4^{x}}} \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{2^{x}}{4^{x}} \cdot 2 - \dfrac{3^{x}}{4^{x}} \cdot \dfrac{1}{9} + \dfrac{4^{x}}{4^{x}} \cdot 4}{\dfrac{2^{x}}{4^{x}} \cdot \dfrac{1}{2} - \dfrac{3^{x}}{4^{x}} \cdot 3+ \dfrac{4^{x}}{4^{x}} \cdot \dfrac{1}{4}} \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{1}{2^{x}} \cdot 2 - \left (\dfrac{3}{4} \right )^{x} \cdot \dfrac{1}{9} + 4}{\dfrac{1}{2^{x}} \cdot \dfrac{1}{2} - \left (\dfrac{3}{4} \right )^{x} \cdot 3+ \dfrac{1}{4}} \\
& =\dfrac{\dfrac{1}{\infty} \cdot 2 - \left (\dfrac{3}{4} \right )^{\infty} \cdot \dfrac{1}{9} + 4}{\dfrac{1}{\infty} \cdot \dfrac{1}{2} - \left (\dfrac{3}{4} \right )^{\infty} \cdot 3+ \dfrac{1}{4}} \\
& =\dfrac{0 \cdot 2 - 0 \cdot \dfrac{1}{9} + 4}{0 - 0 + \dfrac{1}{4}} \\
& =\dfrac{4}{\dfrac{1}{4}}=16
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 16$
7. Soal SIMAK UI 2010 Kode 206 (*Soal Lengkap)
$\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{x^2+3x}- x \right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -1 \\
(B)\ & 0 \\
(C)\ & \dfrac{3}{2} \\
(D)\ & 3 \\
(E)\ & \infty
\end{align}$
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{x^2+3x}- x \right ) \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{x^2+3x}- \sqrt{x^2} \right ) \\
& =\dfrac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
& =\dfrac{3-0}{2\sqrt{1}} \\
& =\dfrac{3}{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{3}{2}$
8. Soal SIMAK UI 2010 Kode 206 (*Soal Lengkap)
$\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \left ( 2\sqrt{x}+1 \right ) - \sqrt{4x - 3\sqrt{x}+2} \right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & - \infty \\
(B)\ & -\dfrac{3}{4} \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & \dfrac{7}{4} \\
(E)\ & \infty
\end{align}$
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \left ( 2\sqrt{x}+1 \right ) - \sqrt{4x - 3\sqrt{x}+2} \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{\left ( 2\sqrt{x}+1 \right )^{2}} - \sqrt{4\sqrt{x} - 3\sqrt{x}+2} \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{ \left (2\sqrt{x} \right )^{2}+2 \left (2\sqrt{x} \right )+1} - \sqrt{\left (2\sqrt{x} \right )^{2} - \dfrac{3}{2} \left (2\sqrt{x} \right )+2} \right ) \\
& \text{misal:}\ 2\sqrt{x}=m,\ \text{karena}\ x \to \infty\ \text{maka}\ m \to \infty \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{ m^{2}+2 m+1} - \sqrt{m^{2} - \dfrac{3}{2} m+2} \right ) \\
& =\dfrac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
& =\dfrac{2+\dfrac{3}{2}}{2\sqrt{1}} \\
& =\dfrac{\dfrac{7}{2}}{2}=\dfrac{7}{4}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{7}{4}$
9. Soal SBMPTN 2017 Kode 106 (*Soal Lengkap)
$\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{x^{4}\ sin \left (\dfrac{1}{x}\right )+x^{2}}{1+x^{3}}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \text{Tidak ada limitnya} \\
(B)\ & 0 \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & - \infty \\
(E)\ & \infty
\end{align}$
Untuk menyelesaikan soal limit ini kita gunakan sedikit manipulasi aljabar dan berhubungan sedikit dengan limit fungsi trigonometri.
Misalkan $\dfrac{1}{x}=m$ sehingga $\dfrac{1}{m}=x$, karena $x \to \infty$ maka $m \to 0$.
Soal $\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{x^{4}\ sin\left (\dfrac{1}{x} \right )+x^{2}}{1+x^{3}}$ bisa kita tuliskan menjadi
$\begin{align}
& \lim\limits_{m \to 0} \dfrac{\left (\dfrac{1}{m} \right )^{4}\ sin\ m+\left (\dfrac{1}{m} \right )^{2}}{1+\left (\dfrac{1}{m} \right )^{3}} \\
& = \lim\limits_{m \to 0} \dfrac{\dfrac{1}{m^{4}}\ sin\ m+\dfrac{1}{m^{2}}}{1+\dfrac{1}{m^{3}}} \\
& = \lim\limits_{m \to 0} \dfrac{\dfrac{sin\ m}{m^{4}}+\dfrac{1}{m^{2}}}{1+\dfrac{1}{m^{3}}} \cdot \dfrac{m^{3}}{m^{3}} \\
& = \lim\limits_{m \to 0} \dfrac{\dfrac{sin\ m}{m}+m}{m^{3}+1} \\
& = \dfrac{1+0}{0+1}\\
& = 1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 1$
10. Soal STIS 2017 (*Soal Lengkap)
$\lim\limits_{x \to \infty} \left (2+ \dfrac{2}{2+\dfrac{2}{2+\dfrac{2}{x}}} \right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{3}{8} \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & \dfrac{8}{3} \\
(D)\ & 3 \\
(E)\ & \infty
\end{align}$
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left (2+ \dfrac{2}{2+\dfrac{2}{2+\dfrac{2}{x}}} \right ) \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \left (2+ \dfrac{2}{2+\dfrac{2}{2+\dfrac{2}{\infty}}} \right ) \\
& = \left (2+ \dfrac{2}{2+\dfrac{2}{2+0}} \right ) \\
& = \left (2+ \dfrac{2}{2+1} \right ) \\
& = \left (2+ \dfrac{2}{3} \right ) \\
& = \left (2 \dfrac{2}{3} \right ) \\
& = \dfrac{8}{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{8}{3}$
11. Soal UMB-PT 2013 Kode 172 (*Soal Lengkap)
Jika $S_{n}$ adalah jumlah $n$ suku pertama dari barisan aritmetika, maka $\lim\limits_{n \to \infty }\dfrac{S_{3n}}{S_{n}}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 60 \\
(B)\ & 80 \\
(C)\ & 100 \\
(D)\ & 130 \\
(E)\ & 170
\end{align}$
Dengan bantuan sedikit dari teorema limit tak hingga dimana $\lim\limits_{x \to \infty } \dfrac{1}{x}= 0$ dan Jumlah $n$ suku pertama pada barisan aritmetika yaitu $S_{n}=\dfrac{n}{2} \left(2a+(n-1)b \right)$, sehingga:
$\begin{align}
\lim\limits_{n \to \infty }\dfrac{S_{3n}}{S_{n}} & = \lim\limits_{x \to \infty }\dfrac{\dfrac{3n}{2} \left(2a+(3n-1)b \right)}{\dfrac{n}{2} \left(2a+(n-1)b \right)} \\
& = \lim\limits_{n \to \infty }\dfrac{3 \left(2a+ 3bn-b \right)}{ \left(2a+bn-b \right)} \\
& = \lim\limits_{n \to \infty }\dfrac{ 6a+ 9bn-3b }{ 2a+bn-b } \times \dfrac{ \dfrac{1}{n} }{ \dfrac{1}{n}} \\
& = \lim\limits_{n \to \infty }\dfrac{ \dfrac{6a}{n}+ \dfrac{9bn}{n}-\dfrac{3b}{n} }{ \dfrac{2a}{n}+\dfrac{bn}{n}-\dfrac{b}{n} } \\
& = \dfrac{ \lim\limits_{n \to \infty } \dfrac{6a}{n}+ \lim\limits_{n \to \infty } 9b- \lim\limits_{n \to \infty }\dfrac{3b}{n} }{ \lim\limits_{n \to \infty } \dfrac{2a}{n}+\lim\limits_{n \to \infty } b- \lim\limits_{n \to \infty }\dfrac{b}{n} } \\
& = \dfrac{ 0+ 9b-0}{0+b-0 } \\
& = \dfrac{ 9b }{ b }=9
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 9$
12. Soal UMB-PT 2013 Kode 372 (*Soal Lengkap)
$\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{x^2-4}- (x+1) \right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -4 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 4
\end{align}$
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{x^{2}-4}- (x+1) \right ) \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{x^{2}-4}- \sqrt{(x+1)^{2}} \right ) \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{x^{2}-4}- \sqrt{x^{2}+2x+1} \right ) \\
& =\dfrac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
& =\dfrac{0-2}{2\sqrt{1}} \\
& =\dfrac{-2}{2}=-1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -1$
13. Soal UMB-PT 2012 Kode 470 (*Soal Lengkap)
$\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{x^2+1}- (x-1) \right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{x^{2}+1}- (x-1) \right ) \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{x^{2}+1}- \sqrt{(x-1)^{2}} \right ) \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{x^{2}+1}- \sqrt{x^{2}-2x+1 }\right ) \\
& =\dfrac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
& =\dfrac{0+2}{2\sqrt{1}} \\
& =\dfrac{ 2}{2}= 1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1$
14. Soal UMB-PT 2009 Kode 210 (*Soal Lengkap)
$\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \dfrac{x-3}{\sqrt{1-2x+4x^2}} \right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & \dfrac{1}{2} \\
(C)\ & \dfrac{1}{4} \\
(D)\ & -\dfrac{1}{4} \\
(E)\ & -\dfrac{1}{2}
\end{align}$
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \dfrac{x-3}{\sqrt{1-2x+4x^2}} \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \dfrac{\sqrt{(x-3)^{2} }}{\sqrt{1-2x+4x^2}} \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{ \dfrac{x^{2}-6x+9}{4x^2-2x+1} \times \frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}} }\ \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{ \dfrac{1-\dfrac{6}{x}+\frac{9}{x^{2}}}{4 -\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}}} \right ) \\
& = \sqrt{ \dfrac{1-0+0}{4-0+0} }\\
& =\dfrac{1}{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{1}{2}$
15. Soal UMB-PT 2008 Kode 371 (*Soal Lengkap)
$\lim\limits_{x \to \infty} \left( \dfrac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2x-1}}{\sqrt{2x-3}-\sqrt{x}} \right)=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left( \dfrac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2x-1}}{\sqrt{2x-3}-\sqrt{x}} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left( \dfrac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2x-1}}{\sqrt{2x-3}-\sqrt{x}} \times \sqrt{\dfrac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x} }}\ \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left( \dfrac{\sqrt{1+\frac{2}{x}}-\sqrt{2-\frac{1}{x}}}{\sqrt{2-\frac{3}{x}}-\sqrt{1}}\ \right ) \\
& = \dfrac{\sqrt{1+0}-\sqrt{2-0}}{\sqrt{2-0}-\sqrt{1}} \\
& = \dfrac{1-\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1} \\
& = -1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -1$
16. Soal SPMB 2006 Kode 610 (*Soal Lengkap)
$\lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{4x+2}-\sqrt{4x} \right) \sqrt{x+1} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -1 \\
(B)\ & -\dfrac{1}{2} \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & \dfrac{1}{2} \\
(E)\ & 1
\end{align}$
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{4x+2}-\sqrt{4x} \right) \sqrt{x+1} \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{(4x+2)(x+1)}-\sqrt{(4x)(x+1)} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{4x^{2}+6x+1}-\sqrt{4x^{2}+4x} \right) \\
& =\dfrac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
& =\dfrac{6-4}{2\sqrt{4}} \\
& =\dfrac{2}{4}= \dfrac{1}{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -1$
17. Soal SPMB 2006 Kode 610 (*Soal Lengkap)
Jika $\lim\limits_{x \to \infty} x\ sin\ \left( \dfrac{a}{bx} \right) =b$, $a$ dan $b$ konstanta maka...
$\begin{align}
(A)\ & a=\dfrac{1}{2}b \\
(B)\ & a=b \\
(C)\ & a^{2}= b \\
(D)\ & a=b^{2} \\
(E)\ & a=2b
\end{align}$
Untuk menyelesaikan soal limit ini kita gunakan sedikit manipulasi aljabar dan berhubungan sedikit dengan limit fungsi trigonometri.
Misalkan $\dfrac{1}{x}=k$ sehingga $\dfrac{1}{k}=x$, karena $x \to \infty$ maka $k \to 0$.
Soal $\lim\limits_{x \to \infty} x\ sin\ \left( \dfrac{a}{bx} \right) =b$ bisa kita tuliskan menjadi:
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to \infty} x\ sin\ \left( \dfrac{1}{x} \cdot \dfrac{a}{b} \right) & = b \\
\lim\limits_{k \to 0} \dfrac{1}{k}\ sin\ \left( \dfrac{1}{x} \cdot \dfrac{a}{b} \right) & = b \\
\lim\limits_{k \to 0} \dfrac{sin\ \left( k \cdot \dfrac{a}{b} \right)}{k}\ & = b \\
\lim\limits_{k \to 0} \dfrac{sin\ \left( k \cdot \dfrac{a}{b} \right)}{k}\ & = b \\
\dfrac{a}{b}\ & = b \\
a\ & = b^{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ a=b^{2}$
18. Soal UM UGM 2005 Kode 821 (*Soal Lengkap)
$ \lim\limits_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}$ sama dengan
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & \dfrac{1}{2} \\
(D)\ & \dfrac{1}{3} \\
(E)\ & 0
\end{align}$
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}} \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{\dfrac{x}{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}} \times \dfrac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x} }} \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{\dfrac{1}{1+\frac{1}{x}\sqrt{x+\sqrt{x}}}} \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{\dfrac{1}{1+\sqrt{\frac{x}{x^{2}}+\frac{1}{x}\sqrt{x}}}} \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{\dfrac{1}{1+\sqrt{\frac{1}{x }+ \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}}} \\
& = \sqrt{\dfrac{1}{1+\sqrt{\frac{1}{x }+ \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}}} \\
& = \sqrt{\dfrac{1}{1+\sqrt{0+ \sqrt{0}}}} = 1 \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 1$
19. Soal UM UGM 2005 Kode 821 (*Soal Lengkap)
Jika $\lim\limits_{x \to \infty} x^{2}\ \left( sec\ \dfrac{2}{x}-1 \right) =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Beberapa Identitas Trigonometri Dasar setidaknya dapat kita gunakan pada manipulasi aljabar;
- $cos\ \left( \frac{1}{2}\pi -x \right) = sin\ \left( x \right)$
- $cos\ 2x= cos^{2}x-sin^{2}x$
- $cos\ 2x= 1-2sin^{2}x$
Soal $\lim\limits_{x \to \infty} x^{2}\ \left( sec\ \dfrac{2}{x}-1 \right)$ bisa kita tuliskan menjadi:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} x^{2}\ \left( sec\ \left( 2 \cdot \dfrac{1}{x} \right) -1 \right) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left( \dfrac{1}{a} \right)^{2}\ \left( sec\ \left( 2 \cdot a \right)-1 \right) \\
& = \lim\limits_{a \to 0} \left( \dfrac{1}{a} \right)^{2}\ \left( sec\ 2a-1 \right) \\
& = \lim\limits_{a \to 0} \dfrac{1}{a^{2}} \left( \dfrac{1}{cos\ 2a} -1 \right) \\
& = \lim\limits_{a \to 0} \dfrac{1}{a^{2}}\ \left( \dfrac{1-cos\ 2a}{cos\ 2a} \right) \\
& = \lim\limits_{a \to 0} \dfrac{1}{a^{2}}\ \left( \dfrac{2sin^{2}a}{cos\ 2a} \right) \\
& = \lim\limits_{a \to 0} \left( \dfrac{2sin^{2}a}{a^{2}} \cdot \dfrac{1}{cos\ 2a}\right) \\
& = 2 \cdot \dfrac{1}{cos\ 0} \\
& = 2
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2$
20. Soal SPMB 2005 Kode 570 (*Soal Lengkap)
$\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{(1-2x)^{3}}{(x-1)(2x^{2}+x+1)}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -8 \\
(B)\ & -4 \\
(C)\ & \dfrac{1}{2} \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 8
\end{align}$
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{(1-2x)^{3}}{(x-1)(2x^{2}+x+1)} \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{-8x^{3}+\cdots}{ 2x^{3}+\cdots } \\
& = \dfrac{-8}{2}= -4
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -4$
21. Soal SPMB 2005 Kode 171 (*Soal Lengkap)
Jika $\lim\limits_{x \to \infty} x^{2}\ sin\ \dfrac{1}{x}\ tan\ \dfrac{1}{x} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -1 \\
(B)\ & 0 \\
(C)\ & \dfrac{1}{2} \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Untuk menyelesaikan soal limit ini kita gunakan sedikit manipulasi aljabar dan berhubungan sedikit dengan limit fungsi trigonometri.
Misalkan $\dfrac{1}{x}=p$ sehingga $\dfrac{1}{p}=x$, karena $x \to \infty$ maka $p \to 0$.
Soal $\lim\limits_{x \to \infty} x^{2}\ sin\ \dfrac{1}{x}\ tan\ \dfrac{1}{x}$ bisa kita tuliskan menjadi:
$\begin{align}
& \lim\limits_{p \to 0} \left( \dfrac{1}{p} \right)^{2}\ sin\ p\ tan\ p \\
&= \lim\limits_{p \to 0} \dfrac{1}{p^{2}}\ sin\ p\ tan\ p \\
&= \lim\limits_{p \to 0} \dfrac{sin\ p\ tan\ p}{p^{2}} \\
&= \lim\limits_{p \to 0} \left( \dfrac{sin\ p}{p} \cdot \dfrac{tan\ p}{p} \right) \\
&= 1 \cdot 1 =1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1$
22. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)
$ \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\left(1-2x \right)^{3}}{\left(x-1 \right)\left(2x^{2}+x+1 \right)}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -8 \\
(B)\ & -4 \\
(C)\ & -1 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 8
\end{align}$
Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Limit Tak Hingga yaitu $\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{ax^m + a_1x^{m-1} + ...}{bx^m + b_1 x^{m-1} + ....}=\dfrac{a}{b}$ untuk $m$ bilangan asli
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\left(1-2x \right)^{3}}{\left(x-1 \right)\left(2x^{2}+x+1 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{-8x^{3}+\cdots}{2x^{3}+\cdots} \\
& = \dfrac{-8}{2}=-4
\end{align}$
$\cdots$ pada penulisan soal di atas adalah penjabaran dari bentuk aljabar pada soal dimana pangkat tertinggi variabel adalah $3$ pada pembilang dan $3$ juga pada penyebut.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ -4$
23. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)
Nilai dari $ \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \left (\sqrt{3x} -\sqrt{3x-4} \right ) \left( \sqrt{3x+2} \right) \right )$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{4}{3}\sqrt{3} \\
(B)\ & -2 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & \dfrac{4}{3}\sqrt{3}
\end{align}$
Soal limit fungsi tak hingga di atas kita coba kerjakan dengan bantuan rumus alternatif yaitu $\dfrac{b-q}{2\sqrt{a}}$.
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \left (\sqrt{3x} -\sqrt{3x-4} \right ) \left( \sqrt{3x+2} \right) \right ) \\
&= \lim\limits_{x \to \infty} \left (\sqrt{\left( 3x \right)\left( 3x+2 \right)} -\sqrt{\left( 3x-4 \right)\left( 3x+2 \right)} \right ) \\
&= \lim\limits_{x \to \infty} \left (\sqrt{9x^{2}+6x} -\sqrt{9x^{2}-6x-8} \right ) \\
&= \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
&= \dfrac{6-(-6)}{2\sqrt{9}} \\
&= \dfrac{12}{6}=2
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$
24. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Nilai $ \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{9x^2+18x-2017}+\sqrt{4x^2-20x+2018}-5x-2019 \right )= \cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2011 \\
(B)\ & -2017 \\
(C)\ & -2019 \\
(D)\ & -2021 \\
(E)\ & -2027 \\
\end{align}$
Penyelesaian soal limit takhingga di atas kita coba selesaikan dengan cara piral (pintar bernalar) Bapak Husein Tampomas, yaitu;
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{9x^2+18x-2017}+\sqrt{4x^2-20x+2018}-5x-2019 \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{\left( 3x+\frac{18}{6} \right)^{2} }+\sqrt{\left( 2x-\frac{20}{4} \right)^{2} }-5x-2019 \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \left( 3x+3 \right) + \left( 2x-5 \right)-5x-2019 \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( 3x+3 + 2x-5 -5x-2019 \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( -2 -2019 \right ) \\
& = -2021
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -2021$
25. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Nilai $ \lim\limits_{x \to \infty} 2x \left ( \sqrt{9+\frac{10}{x}}-3 \right )= \cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{20}{3} \\
(B)\ & \dfrac{10}{3} \\
(C)\ & -\dfrac{10}{3} \\
(D)\ & -\dfrac{20}{3} \\
(E)\ & \infty \\
\end{align}$
Penyelesaian soal limit takhingga di atas kita coba dengan sedikit manipulasi aljabar, yaitu:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} 2x \left ( \sqrt{9+\frac{10}{x}}-3 \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( 2x \sqrt{9+\frac{10}{x}}-2x \cdot 3 \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{9 \cdot 4x^{2}+\frac{10}{x} \cdot 4x^{2}} - 6x \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{36x^{2}+40x} - 6x \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{ \left( 6x +\frac{40}{12} \right)^{2} } - 6x \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( 6x +\frac{40}{12} - 6x \right ) \\
& = \dfrac{40}{12}=\dfrac{10}{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{10}{3}$
Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras- lembar jawaban penilaian harian matematika,
- lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
- presentasi hasil diskusi matematika atau
- pembahasan quiz matematika di kelas.
Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊
Masih menganggap matematika hanya hitung-hitungan semata, mari kita lihat kreativitas siswa ini, membuat lagu dengan matematika;
