Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Persamaan Garis

Monday, March 14, 2016

Turunan fungsi karena terkait dengan gradien garisgaris singgung parabolagaris singgung lingkaranBentuk Umum Persamaan Garis

$y=mx+n$ dengan gradien (kemiringan) adalah $m$

$ax+by+c=0$ dengan gradien (kemiringan) adalah $m=-\dfrac{a}{b}$

atatan calon guru yang kita diskusikan saat ini akan membahas tentang Matematika Dasar Per Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Persamaan Garis

Gradien Garis $(m)$

Saat garis $g$ melalui titik $A(x_{1},y_{1})$ dan $B(x_{2},y_{2})$ maka $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Saat garis $g$ memotong sumbu $x$ di $(b,0)$ dan memotong sumbu $y$ di $(0,a)$ maka $m=-\dfrac{a}{b}$

Saat garis $g$ membentuk sudut sebesar $\alpha$ dengan sumbu $x$ positif maka $m=tan\ \alpha$

Untuk sebuah fungsi $f(x)$ gradien di titik $(a,b)$ adalah turunan pertama fungsi untuk $x=a$ yaitu $m=f'(a)$

Hubungan dua garis terhadap gradien

$m_{1}=m_{2}$ saat $g_{1}$ sejajar dengan $g_{2}$ atau saat $g_{1} \parallel g_{2}$ maka $m_{1}=m_{2}$;

$m_{1} \cdot m_{2}=-1$ saat $g_{1}$ tegak lurus dengan $g_{2}$ atau saat $g_{1} \perp g_{2}$ maka $m_{1} \cdot m_{2}=-1$;

$tan\ \alpha=\left| \dfrac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1} \cdot m_{2}} \right|$ saat $g_{1}$ dan $g_{2}$ membentuk sudut $\alpha$

Persamaan Garis

Jika garis $g$ melalui titik $(0,0)$ dan bergradien $m$ maka garis $g$ adalah $y=mx$;

Jika garis $g$ melalui titik $(x_{1},y_{1})$ dan bergradien $m$ maka garis $g$ adalah $y-y_{1}=m(x-x_{1})$;

Jika garis $g$ melalui titik $(x_{1},y_{1})$ dan $(x_{2},y_{2})$ maka garis $g$ adalah $\dfrac{y-y_1}{y_2-y_1}=\dfrac{x-x_1}{x_2-x_1}$;

Jarak Titik ke Garis

Jarak titik $A(x_{1},y_{1})$ dengan titik $B(x_{2},y_{2})$ adalah $d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$

Jarak titik $(x_{1},y_{1})$ dengan garis $ax+by+c=0$ adalah $d = \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right|$

1. Soal SBMPTN 2018 Kode 408 (*Soal Lengkap)Jika garis singgung kurva $y=\dfrac{1}{4}x^{2}-1$ di titik $P(a,b)$ dengan $a \lt 0 $ memotong sumbu-y di titik $Q(0,-2)$, maka $a+b$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 7-4\sqrt{2} \\
(B)\ & 2-2\sqrt{2} \\
(C)\ & 1-2\sqrt{2} \\
(D)\ & -2 \\
(E)\ & -8
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Kurva $y=\dfrac{1}{4}x^{2}-1$ melalui titik $P(a,b)$ sehingga berlaku $b=\dfrac{1}{4}a^{2}-1$ atau $4b+4=a^{2}$.

Garis singgung kurva melalui titik $P(a,b)$ dan $Q(0,-2)$ maka garis singgung adalah;
$\begin{align}
\dfrac{y-b}{-2-b} = & \dfrac{x-a}{0-a} \\
\dfrac{y-b}{-2-b} = & \dfrac{x-a}{-a} \\
-ay+ab = & -2x+2a-bx+ab \\
-ay+2x+bx-2a = & 0 \\
-ay+(2+b)x-2a = & 0 \\
m = & \dfrac{2+b}{a} \\
\end{align}$
Karena garis merupakan garis singgung kurva $y=\dfrac{1}{4}x^{2}-1$ maka gradien $m=y'=\dfrac{1}{2}x$ dan gradien garis singgung kurva di titik $P(a,b)$ adalah $m=\dfrac{1}{2}x=\dfrac{1}{2}a$.

Dari kedua nilai $m$ di atas kita peroleh persamaan, sebagai berikut;
$\begin{align}
\dfrac{1}{2}a = & \dfrac{2+b}{a} \\
\dfrac{1}{2}a^{2} = & 2+b \\
\dfrac{1}{2}(4b+4) = & 2+b \\
2b+2 = & 2+b \\
b = & 0
\end{align}$
Untuk $b=0$ maka $a^{2}=4b+4=4$, nilai $a=-2$ atau $a=2$ (TM).

Nilai $a+b=-2+0=-2$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ -2$

2. Soal SBMPTN 2016 Kode 355 (*Soal Lengkap)Suatu garis yang melalui titi $(0,0)$ membagi persegi panjang dengan titik-titik sudut $(1,0),(5,0),(1,12)$ dan $(5,12)$ menjadi dua bagian yang sama luas. Gradien garis tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{2} \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & 2 \\
(D)\ & \dfrac{12}{5} \\
(E)\ & 3
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Suatu garis yang membagi persegi panjang jadi dua bagian yang sama adalah melalui titik $(0,0)$ maka adalah $y=mx$. Jika kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini;

Persegi panjang yang terbentuk luasnya adalah $4 \times 12=48$ satuan luas dan luas trapesium adalah setengah luas persegi panjang yaitu $24$ satuan luas.
$\begin{align}
24 & = \dfrac{1}{2}\ jumlah\ garis\ sejajar\ \cdot t \\
24 & = \dfrac{1}{2}\ (m+5m)(5-1) \\
24 & = 2(6m) \\
24 & = 12m \\
m & = 2 \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 2$

3. Soal SBMPTN 2017 Kode 124 (*Soal Lengkap)Garis singgung dari kurva $y=\dfrac{x}{2-2x}$ yang melalui titik $(1,-1)$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x-8y-9=0 \\
(B)\ & x+4y+3=0 \\
(C)\ & 2x-8y-10=0 \\
(D)\ & x+8y+7=0 \\
(E)\ & x-4y-5=0
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Garis singgung dari kurva $y=\dfrac{x}{2-2x}$ yang melalui titik $(1,-1)$ kita misalkan $y-y_{1}=m(x-x_{1})$, sehingga berlaku
$y-(-1)=m(x-1)$
$y+1=mx-m$
$y=mx-m-1$

Karena garis $y=mx-m-1$ menyinggung kurva $y=\dfrac{x}{2-2x}$ maka diskriminan persamaan kuadrat persekutuan adalah nol $(D = 0)$;
$\begin{align}
y = & y \\
mx-m-1 = & \dfrac{x}{2-2x} \\
(mx-m-1)(2-2x) = & x \\
2mx-2m-2-2mx^{2}+2mx+2x -x = & 0 \\
-2mx^{2}+4mx+x-2m-2 = & 0 \\
2mx^{2}-4mx-x+2m+2 = & 0 \\
2mx^{2}+(-4m-1)x+2m+2 = & 0
\end{align}$
$\begin{align}
D = & b^{2}-4ac \\
0 = & (-4m-1)^{2}-4(2m)(2m+2) \\
0 = & 16m^{2}+8m+1 -16m^{2}-16m \\
0 = & -8m+1 \\
8m = & 1 \\
m = & \dfrac{1}{8}
\end{align}$

Persamaan garis adalah $y=mx-m-1$ sehingga $y=\dfrac{1}{8} x-\dfrac{1}{8}-1$ atau $8y=x-9$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ x-8y-9=0$

4. Soal SBMPTN 2016 Kode 255 (*Soal Lengkap)Garis singgung kurva $y=3-x^{2}$ di titik $P(-a,b)$ dan $Q(a,b)$ memotong sumbu-y di titik $R$. Nilai $a$ yang membuat segitiga $PQR$ sma sisi adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2\sqrt{3} \\
(B)\ & \sqrt{3} \\
(C)\ & \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\
(D)\ & \dfrac{1}{3}\sqrt{3} \\
(E)\ & \dfrac{1}{4}\sqrt{3}
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Gradien garis singgung kurva $y=3-x^{2}$ adalah $m=y'=-2x$,
Pada saat garis singgung melalui titik $P(-a,b)$ dan $R$ maka $m_{PR}=2a$
Pada saat garis singgung melalui titik $Q(a,b)$ dan $R$ maka $m_{QR}=-2a$

Garis singgung $PR$ dan $QR$ berpotongan dan membentuk segitiga sama sisi maka sudut yang dibentuk oleh $PR$ dan $QR$ masing-masing terhadap sumbu-$x$ positif adalah $60^{\circ}$ dan $120^{\circ}$, sehingga gradien garis $PR$ adalah $m_{PR}=tan\ 60^{\circ}=\sqrt{3}$.

Gradien $PR$ yaitu $m_{PR}=2a$ dan $m_{PR}=\sqrt{3}$ maka $2a=\sqrt{3}$ atau $a=\dfrac{1}{2}\sqrt{3}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{1}{2}\sqrt{3}$

5. Soal SBMPTN 2015 Kode 605 (*Soal Lengkap)Jika garis $g$ sejajar dengan garis $y=2x+7$ dan menyinggung kurva $y=x^{2}+4x+5$, maka garis $g$ emeotong sumbu-$y$ di titik...
$\begin{align}
(A)\ & (0,-4) \\
(B)\ & (0,-1) \\
(C)\ & (0,0) \\
(D)\ & (0,1) \\
(E)\ & (0,4)
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Garis yang sejajar mempunyai gradien yang sama, dan garis $g$ sejajar dengan garis $y=2x+7$ maka gradien garis $g$ adalah $m_{g}=2$.

Diketahui juga bahwa garis $g$ menyinggung kurva $y=x^{2}+4x+5$ maka $m_{g}=y'=2x+4$.

Dari nilai $m_{g}=y'=2x+4$ dan $m_{g}=2$ dapat kita tentukan nilai $x$ dan $y$ saat $m=2$ yaitu
$\begin{align}
m_{g} & = m_{g} \\
2x+4 & = 2 \\
2x & =-2 \\
x & =-1 \\
y & = x^{2}+4x+5 \\
y & = (-1)^{2}+4(-1)+5 \\
y & = 1-4+5 \\
y & = 2
\end{align}$

Garis $g$ adalah garis yang melalui titik $(-1,2)$ dan gradien $m=2$, maka persamaan garis $g$ adalah...
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-2 & = 2(x-(-1)) \\
y-2 & = 2x+2 \\
y-2x & = 4
\end{align}$
Garis $g: y-2x = 4$ memotong sumbu-$y$ di titik $(0,4)$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ (0,4)$

6. Soal UM UGM 2014 Kode 522 (*Soal Lengkap)Kurva $y=3x-\dfrac{3}{x^{2}}$ memotong sumbu $X$ di titik $P$. Persamaan garis singgung kurva di titik $P$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x-9y-9=0 \\
(B)\ & x-9y+9=0 \\
(C)\ & 9x-y-9=0 \\
(D)\ & 9x-y+9=0 \\
(E)\ & 9x+y-9=0
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Kurva $y=3x-\dfrac{3}{x^{2}}$ memotong sumbu $X$ di $P$ maka berlaku
$\begin{align}
3x-\dfrac{3}{x^{2}} & = 0 \\
3x^{3}-3 & = 0 \\
x^{3}-1 & = 0 \\
(x-1)(x^{2}+x+1) & = 0
\end{align}$
Salah satu nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=1$ maka titik $P$ adalah $(1,0)$

Untuk sebuah fungsi $f(x)$ gradien di titik $(a,b)$ adalah turunan pertama fungsi untuk $x=a$ yaitu $m=f'(a)$, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
m & = f'(x) \\
& = 3+\dfrac{6}{x^{3}} \\
m & = 3+\dfrac{6}{(1)^{3}} \\
m & = 9
\end{align}$

Garis singgung kurva di titik $P(1,0)$ adalah:
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-0 & = 9(x-1) \\
y & = 9x-9
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 9x-y-9=0$

7. Soal SBMPTN 2014 Kode 677 (*Soal Lengkap)Titik $P$ dan $Q$ masing-masing mempunyai absis $2p$ dan $-3p$ terletak pada parabola $y=x^{2}-1$. Jika garis $g$ tegak lurus $PQ$ dan menyinggung parabola tersebut, maka garis $g$ memotong sumbu $Y$ di titik berordinat...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{4p^{2}}-1 \\
(B)\ & -\dfrac{1}{4p^{2}}+1 \\
(C)\ & -\dfrac{1}{4p^{2}}-1 \\
(D)\ & \dfrac{p^{2}-1}{4} \\
(E)\ & \dfrac{1}{4p^{2}}+1
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Karena absis $2p$ dan $-3p$ terletak pada parabola $y=x^{2}-1$ maka titik $P$ adalah $(2p, 4p^{2}-1)$ dan titik $Q$ adalah $(-3p, 9p^{2}-1)$.

Gradien garis $PQ$ adalah
$\begin{align}
m_{PQ} & = \dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} \\
& = \dfrac{9p^{2}-1-(4p^{2}-1)}{-3p-(2p)} \\
& = \dfrac{9p^{2}-1-4p^{2}+1 }{-3p-2p } \\
& = \dfrac{5p^{2} }{5p } \\
& = p
\end{align}$

Garis $g$ kita misalkan $g:y=mx+n$ dan garis $PQ$ tegak lurus maka
$\begin{align}
m_{PQ} \cdot m_{g} & = -1 \\
p \cdot m_{g} & = -1 \\
m_{g} & = -\dfrac{1}{p }
\end{align}$

Diketahui juga bahwa garis $g:y=-\dfrac{1}{p}x+n$ menyinggung $y=x^{2}-1$ maka
$\begin{align}
-\dfrac{1}{p}x+n & = x^{2}-1 \\
x^{2}-1 +\dfrac{1}{p}x-n & = 0 \\
x^{2} +\dfrac{1}{p}x-n-1 & = 0 \\
D & = 0 \\
b^{2}-4ac & = 0 \\
\dfrac{1}{p^{2}}-4(1)(-n-1) & = 0 \\
\dfrac{1}{p^{2}}+4n+4 & = 0 \\
4n & = -\dfrac{1}{p^{2}}-4 \\
n & = -\dfrac{1}{4p^{2}}-1
\end{align}$
Persamaan garis $g$ adalah $y=-\dfrac{1}{p}x -\dfrac{1}{4p^{2}}-1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ -\dfrac{1}{4p^{2}}-1$

8. Soal SBMPTN 2014 Kode 677 (*Soal Lengkap)Garis $l$ mempunyai gradien $2$. Jika $l$ menyinggung grafik fungsi $f(x)=-x^{2}+px+l$ di $x=1$, maka persamaan $l$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & y=2x-3 \\
(B)\ & y=2x-1 \\
(C)\ & y=2x \\
(D)\ & y=2x+2 \\
(E)\ & y=2x+4
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Gradien garis $l$ adalah $2$, maka dapat kita misalkan garis $l$ adalah $l: y=2x+n$

Karena garis $l:y=2x+n$ menyinggung $y=-x^{2}+px+1$ di $x=1$ maka:
$\begin{align}
m_{l} & = y' \\
2 & = -2x+p \\
2 & = -2+p \\
4 & = p
\end{align}$

Garis $l:y=2x+n$ menyinggung $y=-x^{2}+4x+1$ di $x=1$ maka $y=-(1)^{2}+4(1)+1=4$.

Untuk $x=1$ nilai $y=4$ maka:
$\begin{align}
y & = 2x+n \\
4 & = 2(1) + n \\
2 & = n \\
y & = 2x+n \\
y & = 2x+2
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ y=2x+2$

9. Soal SIMAK UI 2012 Kode 221 (*Soal Lengkap)Jika garis singgung parabola $y=4x-x^{2}$ di titik $M(1,3)$ juga merupakan garis singgung parabola $y=x^{2}-6x+k$, maka nilai dari $5-\sqrt{k-1}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & 2 \\
(D)\ & 3 \\
(E)\ & 4
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Gradien garis singgung parabola $y=4x-x^{2}$ di titik $M(1,3)$ adalah $m=4-2x=4-2(1)=2$.
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-3 & = 2(x-1) \\
y-3 & = 2x-2 \\
y & = 2x+1
\end{align}$

Karena $y = 2x+1$ juga merupakan garis singgung $y=x^{2}-6x+k$ maka
$\begin{align}
m & = y' \\
2 & = 2x-6 \\
8 & = 2x \\
x & = 4 \\
y & = 2x+1 \\
y & = 2(4)+1=9 \\
y & = x^{2}-6x+k \\
9 & = 4^{2}-6(4)+k \\
9 & = 16-24+k \\
k & = 9+8=17
\end{align}$

Nilai $5-\sqrt{k-1}= 5-\sqrt{17-1}=1$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 1$

10. Soal UMB 2012 Kode 270 (*Soal Lengkap)Garis lurus dengan gradien positif memotong parabola $y=(x-2)^{2}$ di titik $P$ dan $Q$. Jika $T(3,5)$ adalah titik tengah ruas garis $PQ$, maka garis $PQ$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & y=4x-7 \\
(B)\ & y=3x-4 \\
(C)\ & y=2x-1 \\
(D)\ & y=x+2 \\
(E)\ & y=\dfrac{1}{2}x+3\dfrac{1}{2}
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Misal titik $P(x_{1},y_{1})$ dan $Q(x_{2},y_{2})$.

Titik $T(3,5)$ adalah titik tengah $PQ$ sehingga berlaku
$3=\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}$ atau $ x_{1}+x_{2}=6$ dan
$5=\dfrac{y_{1}+y_{2}}{2}$ atau $ y_{1}+y_{2}=10$

Karena titik $P(x_{1},y_{1})$ dan $Q(x_{2},y_{2})$ terletak pada parabola $y=x^{2}-4x+4$ sehingga berlaku:
$\begin{array}{c|c|cc}
x_{1}^{2}-4x_{1}+4 = y_{1} & \\
x_{2}^{2}-4x_{2}+4 = y_{2} & (+) \\
\hline
x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-4(x_{1}+x_{2})+8 = y_{1}+y_{2} & \\
(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}-4(6)+8 = 10 & \\
6^{2}-2x_{1}x_{2}-24 = 2 & \\
36-2x_{1}x_{2}-24 = 2 & \\
2x_{1}x_{2} = 10 & \\
x_{1}x_{2} = 5 & \\
x_{1} = 1 & \\
x_{2} = 5 &
\end{array} $

$\begin{align}
y_{2} & = x_{2}^{2}-4x_{2}+4 \\
& = 5^{2}-4(5)+4 \\
& = 9 \\
y_{1} & = x_{1}^{2}-4x_{1}+4 \\
& = 1^{2}-4(1)+4 \\
& = 1
\end{align}$

Persamaan garis $PQ$
$\begin{align}
m & = \dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} \\
m & = \dfrac{5-1}{3-1} =2 \\
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-1 & = 2(x-1) \\
y & = 2x-2+1 \\
y & = 2x-1
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ y=2x-1$

11. Soal SIMAK UI 2011 Kode 213 (*Soal Lengkap)Titik pada garis $y=3x+10$ yang terdekat dengan titik $(3,8)$ adalah titik $P$. Jarak titik $P$ dan $(3,8)$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{11}{10} \\
(B)\ & \dfrac{11\sqrt{10}}{10} \\
(C)\ & \dfrac{91}{10} \\
(D)\ & \dfrac{91\sqrt{10}}{10} \\
(E)\ & \dfrac{121\sqrt{10}}{10}
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Titik $P$ terletak pada garis $y=3x+10$ dan merupakan jarak yang terdekat dengan titik $(3,8)$, sehingga jarak titik $P$ dengan titik $(3,5)$ merupakan jarak titik $(3,5)$ dengan garis $y=3x+10$.

Jarak titik $(x_{1}, y_{1})$ dengan garis $ax+by+c=0$ adalah $d = \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right|$
Jarak titik $(3,5)$ dengan garis $-3x+y-10=0$ adalah:
$\begin{align}
d & = \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right| \\
& = \left| \dfrac{(-3)(3)+(1)(8)-10}{\sqrt{(-3)^{2}+(1)^{2}}} \right| \\
& = \left| \dfrac{-9+8-10}{\sqrt{9+1}} \right| \\
& = \left| \dfrac{-11}{\sqrt{10}} \right| \\
& = \dfrac{11}{10}\sqrt{10}
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{11}{10}\sqrt{10}$

12. Soal SIMAK UI 2011 Kode 214 (*Soal Lengkap)Tiga buah garis lurus $l_{1},\ l_{2},\ \text{dan}\ l_{3}$ mempunyai gradien masing-masing $2,\ 3,\ 4$. Ketiga garis ini memotong sumbu $Y$ di titik yang sama. Jika jumlah nilai $x$ dari titik potong dengan sumbu $X$ dari ketiga garis adalah $\dfrac{1}{9}$, maka persamaan garis $l_{2}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 117x-39=4 \\
(B)\ & 117x+39=4 \\
(C)\ & 117x-39=-4 \\
(D)\ & 39x+117y=4 \\
(E)\ & 39x-117y=-4
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Tiga buah garis lurus $l_{1},\ l_{2},\ \text{dan}\ l_{3}$ mempunyai gradien masing-masing $2,\ 3,\ 4$ dan ketiga garis ini memotong sumbu $Y$ $(x=0)$ di titik yang sama sehingga dapat kita misalkan:

$l_{1}: y=2x+a $
$l_{2}: y=3x+a $
$l_{3}: y=4x+a $

Jika jumlah nilai $x$ dari titik potong dengan sumbu $X$ $(y=0)$ dari ketiga garis adalah $\dfrac{1}{9}$, maka dapat kita tuliskan:

Untuk $l_{1}: y=2x+a $ saat $y=0$ maka berlaku $0=2x+a $ atau $x=-\dfrac{1}{2}a$
Untuk $l_{2}: y=3x+a $ saat $y=0$ maka berlaku $0=3x+a $ atau $x=-\dfrac{1}{3}a$
Untuk $l_{3}: y=4x+a $ saat $y=0$ maka berlaku $0=4x+a $ atau $x=-\dfrac{1}{4}a$
$\dfrac{1}{9}=-\dfrac{1}{2}a- \dfrac{1}{3}a-\dfrac{1}{4}a$
$\dfrac{1}{9}=-\dfrac{6+4+3}{12}a$
$\dfrac{1}{9}=-\dfrac{13a}{12} $
$a=-\dfrac{12}{9 \cdot 13}= -\dfrac{4}{39}$

Persamaan $l_{2}: y=3x+a $ adalah $l_{2}: y=3x-\dfrac{4}{39} $ atau $39y=117x-4$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 117x-39=4$

13. Soal SIMAK UI 2010 Kode 208 (*Soal Lengkap)Diketahui fungsi kuadrat $f(x)=x^{2}-4x+5$. Dua buah garis singgung di titik yang merupakan perpotongan antara $f(x)$ dan garis $y=5$ membentuk sebuah segitiga dengan garis $y=5$. Maka titik potong kedua garis singgung tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & (-3,2) \\
(B)\ & (-2,3) \\
(C)\ & (2,-3) \\
(D)\ & (3,-2) \\
(E)\ & (3,2)
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Dua buah garis singgung di titik yang merupakan perpotongan antara $f(x)=x^{2}-4x+5$ dan garis $y=5$, maka titik potong tersebut adalah:
$\begin{align}
y & = x^{2}-4x+5 \\
5 & = x^{2}-4x+5 \\
0 & = x^{2}-4x \\
0 & = (x-4)x \\
x & = 4 \\
x & = 0 \\
\end{align}$
Dua buah garis singgung menyinggung $f(x)$ di titik $(0,5)$ dan $(4,5)$ dengan $m=2x-4$.

Persamaan garis singgung pada $(0,5)$
$\begin{align}
m & = 2x-4=-4 \\
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-5 & = -4(x-0) \\
y-5 & = -4x \\
y+4x & = 5
\end{align}$

Persamaan garis singgung pada $(4,5)$
$\begin{align}
m & = 2x-4=4 \\
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-5 & = 4(x-4) \\
y-5 & = 4x-16 \\
y-4x & = -11
\end{align}$

Titik potong kedua garis singgung
$\begin{array}{c|c|cc}
y+4x = 5 & \\
y-4x = -11 & (+) \\
\hline
2y = -6 & \\
y = -3 & \\
y+4x = 5 & \\
-3+4x = 5 & \\
4x = 5+3 & \\
x = 2
\end{array} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ (2,-3)$

14. Soal UM UGM 2010 Kode 461 (*Soal Lengkap)Garis singgung kurva $y=x^{4}-x^{2}$ di titik $(1,0)$ dan $(-1,0)$ berpotongan di $(a,b)$. Nilai $a-b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 3 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 5
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Dua buah garis singgung kurva $y=x^{4}-x^{2}$ di titik $(1,0)$ dan $(-1,0)$ meiliki gradien $m=4x^{3}-2x$.

Persamaan garis singgung pada $(1,0)$
$\begin{align}
m = 4x^{3}-2x & = 4(1)^{3}-2(1)=2 \\
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-0 & = 2(x-1) \\
y & = 2x-2
\end{align}$

Persamaan garis singgung pada $(-1,0)$
$\begin{align}
m = 4x^{3}-2x & = 4(-1)^{3}-2(-1)=-2 \\
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-0 & = -2(x+1) \\
y & = -2x-2
\end{align}$

Titik potong kedua garis singgung
$\begin{array}{c|c|cc}
y-2x = -2 & \\
y+2x = -2 & (+) \\
\hline
2y = -4 & \\
y = -2 & \\
y+2x = -2 & \\
-2+4x = -2 & \\
4x = 0 & \\
x = 0
\end{array} $
Titik potong $(a,b)=(0,-2)$ maka nilai $a-b=0-(-2)=2$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2$

15. Soal SIMAK UI 2009 Kode 931 (*Soal Lengkap)Diketahui $l$ adalah garis yang dinyatakan oleh $det(A)=0$ dimana $A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2\\
x & y & 1\\
2 & 1 & 3
\end{pmatrix}$, persamaan garis yang sejajar $l$ dan melalui titik $(3,4)$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x+y-7=0 \\
(B)\ & x-y+7=0 \\
(C)\ & x-y+1=0 \\
(D)\ & x+y-1=0 \\
(E)\ & x+y+1=0
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Untuk mendapatkan persamaan garis $l$ kita butuh sedikit catatan untuk menentukan determinan matrisk ordo $3 \times 3$ yang nilainya adalah nol.
$0=\begin{vmatrix}
1 & 1 & 2\\
x & y & 1\\
2 & 1 & 3
\end{vmatrix}\left.\begin{matrix}
1 & 1\\
x & y\\
2 & 1
\end{matrix}\right|$
Persamaan garis $l$ adalah
$(1 \cdot y \cdot 3+1 \cdot 1 \cdot 2+2 \cdot x \cdot 1)-(2 \cdot y \cdot 2+1 \cdot 1 \cdot 1+1 \cdot x \cdot 3)=0$
$(3y+2+2x)-(4y+1+3x)=0$
$ 3y+2+2x-4y-1-3x=0$
$ 1-y-x=0$
$ 1-x=y$

Persamaan garis sejajar $l$ melalui $(3,4)$
$\begin{align}
m & = -1 \\
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-4 & = -1(x-3) \\
y-4 & = -x+3 \\
y & = -x+7 \\
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ x+y-7=0$

16. Soal SIMAK UI 2009 Kode 921 (*Soal Lengkap)Diketahui $P=\begin{pmatrix}
2 & 1\\
3 & 3
\end{pmatrix}$, $Q=\begin{pmatrix}
-1 & -2\\
1 & 0
\end{pmatrix}$, dan determinan dari matriks $PQ$ adalah $k$. Jika garis $2x-y=4$ dan $3x-2y=5$ berpotongan di $A$, maka persamaan garis yang melalui $A$ dengan gradien $k$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 6x+y-20=0 \\
(B)\ & 2x-3y-6=0 \\
(C)\ & 3x-2y-4=0 \\
(D)\ & x-6y+16=0 \\
(E)\ & 6x-y-16=0
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Unsur-unsur yang dibutuhkan untuk membentuk sebuah persamaan garis adalah sebuah titik dan gradien. Tetapi gradien dapat kita ketahui setelah sedikit belajar kembali tentang perkalian matriks dan determinan matrisk ordo $2 \times 2$, dimana $m=k=|PQ|$

$\begin{align}
m & = |PQ| \\
& = \left | \begin{pmatrix}
2 & 1\\
3 & 3
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
-1 & -2\\
1 & 0
\end{pmatrix} \right | \\
& = \begin{vmatrix}
-1 & -4\\
0 & -6
\end{vmatrix} \\
& = 6-0=6
\end{align}$

Titik $A$
$\begin{array}{c|c|cc}
2x-y = 4 & (\times 2) \\
3x-2y = 5 & (\times 1) \\
\hline
4x-2y = 8 & \\
3x-2y = 5 & (-) \\
\hline
x = 3 & \\
3x-2y = 5 & \\
3(3)-2y = 5 & \\
y = 2
\end{array} $

Persamaan garis melalui $A(3,2)$ dengan $m=6$
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-2 & = 6(x-3) \\
y & = 6x-18+2 \\
y & = 6x-16
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 6x-y-16=0$

17. Soal UMB 2012 Kode 270 (*Soal Lengkap)Jika garis singgung pada parabola $y=ax^{2}+bx+(a+b)$ di titik $(1,-1)$ sejajar dengan garis $2x+y=1$, maka $a=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 0 \\
(C)\ & -\dfrac{1}{2} \\
(D)\ & -1 \\
(E)\ & -\dfrac{3}{2}
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Karena garis singgung sejajar dengan garis $2x+y=1$ $(m=-2)$ maka gradien garis singgung adalah $m=-2$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
m & = f'(x) \\
m & = 2ax+b \\
-2 & = 2a(1)+b \\
-2 & = 2a +b
\end{align}$
Pada titik $(1,-1)$ maka $y=ax^{2}+bx+(a+b)$ berlaku $-1=a(1)^{2}+b(1)+(a+b)$ atau $2a+2b=-1$

$\begin{array}{c|c|cc}
2a+b=-2 & \\
2a+2b=-1 & (-) \\
\hline
-b=-1\ & 2a+b=-2 \\
b= 1\ & 2a+1=-2\\
& a=\dfrac{-1}{2}
\end{array} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -\dfrac{1}{2}$

18. Soal UM UGM 2008 Kode 482 (*Soal Lengkap)Persamaan garis yang melalui titik potong garis-garis $6x-10y-7=0$ dan $3x+4y-8=0$ dan tegak lurus dengan garis yang ke-2 adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 3y-4x+13=0 \\
(B)\ & 3y-4x+\dfrac{13}{2}=0 \\
(C)\ & 3y+4x-13=0 \\
(D)\ & 3y+4x-\dfrac{13}{2}=0 \\
(E)\ & 3y-4x+10=0
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Titik potong kedua garis adalah:
$\begin{array}{c|c|cc}
6x-10y-7=0 & (\times 1) \\
3x+4y-8=0 & (\times 2) \\
\hline
6x-10y-7=0 & \\
6x+8y-16=0 & (-) \\
\hline
-18y+9=0 & 6x+8y-16=0 \\
18y = 9 & 6x+8 \cdot \dfrac{1}{2} -16=0 \\
y =\dfrac{1}{2} & x=2
\end{array} $

Garis yang akan kita tentukan melalui $(2,\dfrac{1}{2})$ dan tegak lurus dengan $3x+4y-8=0$ $(m=-\dfrac{3}{4})$ sehingga gradien garis yang akan kita tentukan adalah $m=\dfrac{4}{3}$.
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-\dfrac{1}{2} & = \dfrac{4}{3}(x-2) \\
y-\dfrac{1}{2} & = \dfrac{4}{3} x- \dfrac{8}{3} \\
3y-\dfrac{3}{2} & = 4 x- 8 \\
3y-4x-\dfrac{3}{2}+8 & = 0 \\
3y-4x+\dfrac{13}{2} & = 0
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 3y-4x+\dfrac{13}{2} = 0$

19. Soal UM UGM 2008 Kode 482 (*Soal Lengkap)Agar ketiga garis $3x+2y+4=0$, $x-3y+5=0$ dan $2x+(m+1)y-1=0$ berpotongan di satu titik, maka nilai $m$ haruslah...
$\begin{align}
(A)\ & -3 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 3 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 6
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Agar ketiga garis berpotongan di satu titik, kita coba dengan mencari titik potong dua garis, yaitu:
$\begin{array}{c|c|cc}
3x+2y+4=0 & (\times 1) \\
x-3y+5=0 & (\times 3) \\
\hline
3x+2y+4=0 & \\
3x-9y+15=0 & (-) \\
\hline
11y-11=0 & 3x-9y+15=0 \\
11y = 11 & 3x-9 +15=0 \\
y =1 & x=-2
\end{array} $

Titik potong kedua garis di atas juga harus berlaku pada $2x+(m+1)y-1=0$ agar ketiga garis tersebut berpotongan pada satu titik.
$\begin{align}
2x+(m+1)y-1 & = 0 \\
2(-2)+(m+1)(1)-1 & = 0 \\
-4+ m+1 -1 & = 0 \\
m -4 & = 0 \\
m & = 4
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 4$

20. Soal SNMPTN 2008 Kode 201 (*Soal Lengkap)Persamaan garis singgung pada parabola $y=x^{2}-16x+24$ di titik portongnya dengan sumbu $Y$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & y=-8x+16 \\
(B)\ & y= 8x-48 \\
(C)\ & y=-16x+24 \\
(D)\ & y=-8x+48 \\
(E)\ & y=16x+24
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Parabola $y=x^{2}-16x+24$ memotong sumbu $Y$ $(x=0)$ adalah pada titik $(0,24)$

Persamaan garis singgung adalah:
$\begin{align}
m & = f'(x) \\
& = 4x-16 \\
m & = 4(0)-16 =-16 \\
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-24 & = -16(x-0) \\
y & = -16x+24
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -16x+24$

21. Soal SNMPTN 2008 Kode 211 (*Soal Lengkap)Jika $P(2,5)$ merupakan titik singgung dari garis $y=ax+b$ pada kurva $f(x)=\dfrac{1}{2}x^{3}+\dfrac{1}{2}x^{2}-x+1$ maka $a+b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & -1 \\
(E)\ & -2
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Gradien dan garis singgung pada kurva $f(x)=\dfrac{1}{2}x^{3}+\dfrac{1}{2}x^{2}-x+1$ di titik $P(2,5)$ adalah
$\begin{align}
m & = f'(x) \\
m & = \dfrac{3}{2}x^{2}+x-1 \\
& = \dfrac{3}{2}(2)^{2}+(2)-1 \\
& = 7 \\
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-5 & = 7(x-2) \\
y & = 7x-14+5 \\
y & = 7x-9 \\
\end{align}$
Karena $y=ax+b \equiv y=7x-9$ maka $a+b=-2$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -2$

22. Soal UM UGM 2007 Kode 741 (*Soal Lengkap)Persamaan garis yang melalui titik potong garis $2x+2y-4=0$ dan $x-2y-5=0$ dan tegak lurus pada garis $12x+6y-3=0$ adalah $x+by+c=0$ nilai $b+c$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -7 \\
(B)\ & -3\dfrac{1}{2} \\
(C)\ & -1\dfrac{1}{2} \\
(D)\ & 3 \\
(E)\ & 5
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Titik potong kedua garis adalah:
$\begin{array}{c|c|cc}
2x+2y-4=0 & \\
x-2y-5=0 & (+) \\
\hline
3x-9=0 & \\
x=3 & \\
\hline
2x+2y-4=0 & 2(3)+2y-4=0 \\
2y+2=0 & y=-1
\end{array} $

Garis yang akan kita tentukan melalui $(3,-1)$ dan tegak lurus dengan $12x+6y-3=0$ $(m=-\dfrac{12}{6}=-2)$ sehingga gradien garis yang akan kita tentukan adalah $m=\dfrac{1}{2}$.
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-(-1) & = \dfrac{1}{2}(x-3) \\
y+1 & = \dfrac{1}{2} x - \dfrac{3}{2} \\
2y+2 & = x - 3 \\
x-2y-5 & = 0 \\
b+c & = -7
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -7$

23. Soal SPMB 2006 Kode 510 (*Soal Lengkap)Persamaan garis yang melalui titik potong garis $4x+7y-15=0$ dan $14y =9x-4$ serta tegak lurus pada garis $21x+5y=3$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 21x-5y=3 \\
(B)\ & 11x-21y=5 \\
(C)\ & 5x-21y=-11 \\
(D)\ & 5x+21y=-11 \\
(E)\ & 5x-21y=11
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Titik potong kedua garis adalah:
$\begin{array}{c|c|cc}
4x+7y-15=0 & (\times 2) \\
-9x+14y+4=0 & (\times 1) \\
\hline
8x+14y-30=0 & \\
-9x+14y+4=0 & (-) \\
\hline
17x-34=0 & \\
x=2 & \\
\hline
4x+7y-15=0 & 4(2)+7y-15=0 \\
7y-7=0 & y=1
\end{array} $

Garis yang akan kita tentukan melalui $(2, 1)$ dan tegak lurus dengan $21x+5y+3$ $(m=-\dfrac{21}{5})$ sehingga gradien garis yang akan kita tentukan adalah $m=\dfrac{5}{21}$.
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-1 & = \dfrac{5}{21}(x-2) \\
y-1 & = \dfrac{5}{21} x - \dfrac{10}{21} \\
21y-21 & = 5x - 10 \\
5x-21y & = -11
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 5x-21y = -11$

24. Soal SPMB 2006 Kode 411 (*Soal Lengkap)Jika garis $h:\ y=ax+1$ dan $g:\ y=2x-1$ berpotongan tegak lurus di titik $A$, maka koordinat $A$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & (1,1) \\
(B)\ & \left( \dfrac{1}{2},0 \right) \\
(C)\ & \left( \dfrac{4}{5}, \dfrac{3}{5} \right) \\
(D)\ & \left( 1\dfrac{1}{4}, 1\dfrac{1}{2} \right) \\
(E)\ & \left( -1, -3 \right)
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Garis $h:\ y=ax+1$ dan $g:\ y=2x-1$ saling tegak lurus sehingga perkalian gradien kedua garis adalah $-1$.
$m_{h} \cdot m_{g}=-1$
$m_{h} \cdot 2=-1$
$m_{h} = \dfrac{-1}{2}$
Gradien garis $h$ adalah $\dfrac{-1}{2}$ maka $h:\ y=-\dfrac{1}{2}x+1$ atau $h:\ 2y=-x+2$

Titik potong kedua garis adalah:
$\begin{array}{c|c|cc}
2y=-x+2 & (\times 1) \\
y=2x-1 & (\times 2) \\
\hline
2y=-x+2 & \\
2y=4x-2 & (-) \\
\hline
0=-5x+4 & \\
x=\dfrac{4}{5} & \\
\hline
y=2x-1 & y=2x-1 \\
y=2(\dfrac{4}{5})-1 & y=\dfrac{3}{5}
\end{array} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \left( \dfrac{4}{5}, \dfrac{3}{5} \right)$

25. Soal SPMB 2006 Kode 111 (*Soal Lengkap)Jika garis $h$ memotong sumbu $Y$ di titik $(0,-8)$ dan tegak lurus $g:\ x+2y=4$ maka $h$ memotong $g$ di titik...
$\begin{align}
(A)\ & \left( 2,1 \right) \\
(B)\ & \left( 4,0 \right) \\
(C)\ & \left( 3, 0 \right) \\
(D)\ & \left( 5, -1 \right) \\
(E)\ & \left( 6, -1 \right)
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Garis $h$ memotong sumbu $Y$ di titik $(0,-8)$, sehingga dapat kita misalkan $h:\ y=mx-8$.

Garis $h:\ y=mx-8$ tegak lurus $g:\ x+2y=4$ maka perkalian gradien kedua garis adalah $-1$.
$m_{h} \cdot m_{g}=-1$
$m_{h} \cdot \dfrac{-1}{2}=-1$
$m_{h} = 2$
Gradien garis $h$ adalah $2$ maka $h:\ y=2x-8$ atau $h:\ 2x-y=8$

Titik potong kedua garis adalah:
$\begin{array}{c|c|cc}
x+2y=4 & (\times 2) \\
2x-y=8 & (\times 1) \\
\hline
2x+4y=8 & \\
2x-y=8 & (-) \\
\hline
5y=0 & \\
y=0 & \\
\hline
x+2y=4 & x=4
\end{array} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \left( 4,0 \right)$

26. Soal SPMB 2005 Kode 610 (*Soal Lengkap)Jika garis $(x-2y)+a(x+y)=a$ sejajar dengan garis $(5y-x)+3a(x+y)=2a$ maka konstanta $a=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -5 \\
(B)\ & -\dfrac{1}{5} \\
(C)\ & \dfrac{1}{5} \\
(D)\ & \dfrac{1}{3} \\
(E)\ & 5
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Garis $(x-2y)+a(x+y)=a$ dapat kita sederhanakan menjadi
$\begin{align}
(x-2y)+a(x+y) & =a \\
x-2y +ax+ay & =a \\
(1+a)x+(a -2)y & =a \\
m\ & = -\dfrac{1+a}{a-2}
\end{align}$

Garis $(5y-x)+3a(x+y)=2a$ dapat kita sederhanakan menjadi
$\begin{align}
(5y-x)+3a(x+y) & =2a \\
5y-x +3a x+3ay & =2a \\
(3a-1)x+(5+3a)y & =a \\
m\ & = -\dfrac{3a-1}{5+3a}
\end{align}$

Kedau garis di atas adalah sejajar maka gradien kedua garis adalah sama.
$\begin{align}
-\dfrac{1+a}{a-2} & = -\dfrac{3a-1}{5+3a} \\
(1+a)(5+3a) & = (3a-1)(a-2) \\
5+3a+5a+3a^{2} & = 3a^{2}-6a-a+2 \\
5+8a+ & = -7a+2 \\
15a & = -3 \\
a & = \dfrac{-3}{15}=-\dfrac{1}{ 5} \\
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -\dfrac{1}{5}$

27. Soal SPMB 2005 Kode 610 (*Soal Lengkap)Persamaan garis yang memotong parabola $y=x^{2}+2x-1$ di $x=1$ dan $x=-2$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & y=x+1 \\
(B)\ & y=x-1 \\
(C)\ & y=-x+1 \\
(D)\ & y=-x-1 \\
(E)\ & y=2x-1
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Untuk menentukan garis yang memotong parabola $y=x^{2}+2x-1$ di $x=1$ dan $x=-2$, kita cari koordinat titik potongnya secara lengkap.
$\begin{align}
(x=1) & y =x^{2}+2x-1 \\
& y =1^{2}+2(1)-1 \\
& y =2 \\
(x=-2) & y =x^{2}+2x-1 \\
& y =(-2)^{2}+2(-2)-1 \\
& y =-1
\end{align}$

Garis yang melalui $(1,2)$ dan $(-2,-1)$ adalah:
$\begin{align}
m & = \dfrac{-1-2}{-2-1} \\
& = \dfrac{-3}{-3}=1 \\
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-2 & = 1(x-1) \\
y & = x-1+2 \\
y & = x+1
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ y=x+1 $

28. Soal UM UGM 2005 Kode 621 (*Soal Lengkap)Diketahui titik $P(a,2)$ terletak pada garis $l:3x-2y+1=0$. Persamaan garis melalui $P$ dan tegak lurus garis $l$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2x+3y-8=0 \\
(B)\ & 2x+3y-7=0 \\
(C)\ & 2x+3y+2=0 \\
(D)\ & 2x+3y+7=0 \\
(E)\ & 2x+3y+8=0
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Titik $P(a,2)$ terletak pada garis $l:3x-2y+1=0$ sehingga berlaku:
$3(a)-2(2)+1=0$
$3a-3=0$
$a=1$

Garis yang akan kita tentukan melalui $P(1, 2)$ dan tegak lurus dengan $3x-2y+1=0$ $(m=\dfrac{3}{2})$ sehingga gradien garis yang akan kita tentukan adalah $m=-\dfrac{2}{3}$.
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-2 & = -\dfrac{2}{3}(x-1) \\
y-2 & = -\dfrac{2}{3} x + \dfrac{2}{3} \\
3y-6 & = -2 x + 2 \\
3y+2x & = 8
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2x+3y-8=0$

29. Soal UM UGM 2005 Kode 821 (*Soal Lengkap)Garis yang melalui titik potong garis $x+2y-6=0$ dan $3x+2y-2=0$ serta tegak lurus garis $x-2y=5$ memotong sumbu $x$ di titik...
$\begin{align}
(A)\ & (-5,0) \\
(B)\ & (-2,0) \\
(C)\ & (0,0) \\
(D)\ & (2,0) \\
(E)\ & (5,0)
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Titik potong kedua garis adalah:
$\begin{array}{c|c|cc}
x+2y-6=0 & \\
3x+2y-2=0 & (-) \\
\hline
-2x-4=0 & \\
x =-2 & \\
\hline
x+2y-6=0 & -2+2y-6=0 \\
2y-8=0 & y=4
\end{array} $

Garis yang akan kita tentukan melalui $(-2, 4)$ dan tegak lurus dengan $x-2y=5$ $(m=\dfrac{1}{2})$ sehingga gradien garis yang akan kita tentukan adalah $m=-2 $.
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-4 & = -2(x+2) \\
y & = -2x-4+4 \\
y & = -2x
\end{align}$
Garis $y = -2x$ memotong sumbu $X$ di titik $(0,0)$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ (0,0)$

30. Soal SPMB 2005 Kode 370 (*Soal Lengkap)Garis $g:\ y=-2x+3$ dan $h:\ y=2x-5$ berpotongan di titik $A$. Garis $k$ melalui $A$ dan sejajar dengan $l:\ y=3x+7$. Jika garis $k$ memotong sumbu $Y$ di titik $(0,b)$, maka $b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -7 \\
(B)\ & -5 \\
(C)\ & -2 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 5
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Titik potong kedua garis adalah:
$\begin{array}{c|c|cc}
y=-2x+3 & \\
y=2x-5 & (-) \\
\hline
-4x+8=0 & \\
x = 2 & \\
\hline
y=2x-5 & y=2(2)-5 \\
& y=-1
\end{array} $

Garis yang akan kita tentukan melalui $A(2, -1)$ dan sejajar dengan $y=3x+7$ $(m=3)$ sehingga gradien garis yang akan kita tentukan adalah $m=3 $.
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y+1 & = 3(x-2) \\
y & = 3x-6-1 \\
y & = 3x-7
\end{align}$
Garis $y = 3x-7$ memotong sumbu $Y$ di titik $(0,b)$, maka $b=-7$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -7$

31. Soal SPMB 2005 Kode 370 (*Soal Lengkap)Jika $A(3,2)$, $B(-2,0)$ dan $C(2,1)$, maka persamaan garis yang melelui titik $A$ dan tegak lurus $BC$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & y=-4x+10 \\
(B)\ & y=-4x+5 \\
(C)\ & y= 4x-1 \\
(D)\ & y=-4x+14 \\
(E)\ & y= 4x-14
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Gradien garis $BC$ melalui $B(-2,0)$ dan $C(2,1)$ adalah:
$\begin{align}
m & = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \\
m_{BC} & = \dfrac{1-0}{2+2} \\
& = \dfrac{1}{4}
\end{align}$

Garis yang akan kita tentukan melalui $A(3,2)$ dan tegak lurus $BC$ dimana $ m_{BC}=\dfrac{1}{4}$ sehingga gradien garis yang akan kita tentukan adalah $m=-4$.
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-2 & = -4(x-3) \\
y & = -4x+12+2 \\
y & = -4x+14
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ y=-4x+14$

32. Soal SPMB 2005 Kode 370 (*Soal Lengkap)Parabola $y=ax^{2}+bx+1$ menyinggung sumbu $X$. Jika garis singgung pada parabola tersebut di titik $(0,1)$ tegak lurus $2y=x-1$, maka $a=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{4} \\
(B)\ & \dfrac{1}{2} \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 4 \\
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Gradien garis singgung pada parabola $y=ax^{2}+bx+1$ di titik $(0,1)$ adalah:
$\begin{align}
m & = f'(x) \\
m & = 2ax+b \\
m & = b
\end{align}$

Diketahui bahwa garis singgung pada parabola $y=ax^{2}+bx+1$ di titik $(0,1)$ tegak lurus $2y=x-1$ $m=\dfrac{1}{2}$ sehingga gradien garis singgung parabola adalah $m=-2$ maka nilai $b=-2$.

Parabola $y=ax^{2}-2x+1$ menyinggung sumbu $X$ sehingga $D=b^{2}-4ac=0$
$\begin{align}
b^{2}-4ac & = 0 \\
(-2)^{2}-4(a)(1) & = 0 \\
4-4a & = 0 \\
4 & = 4a \\
a & = 1
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 1$

33. Soal SPMB 2005 Kode 270 (*Soal Lengkap)Jika $f'(x)=x^{2}+2x$ dan garis $g$ menyinggung kurva $f$ di titik singguung $(1,2)$, maka garis $g$ memotong sumbu $Y$ di titik...
$\begin{align}
(A)\ & (0,-2) \\
(B)\ & (0,-1) \\
(C)\ & (0,0) \\
(D)\ & (0,1) \\
(E)\ & (0, 2)
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Gradien garis $g$ yang menyinggung $f$ di titik $(1,2)$ adalah:
$\begin{align}
m & = f'(x) \\
m & = x^{2}+2x \\
m & = 1^{2}+2(1) \\
m & = 3
\end{align}$

Persamaan garis $g$ yang melalui titik $(1,2)$ dengan $m=3$.
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-2 & = 3(x-1) \\
y & = 3x-3+2 \\
y & = 3x-1 \\
\end{align}$
Garis $g$ memotong sumbu $Y$ di titik $(0,-1)$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ (0,-1)$

34. Soal SPMB 2005 Kode 270 (*Soal Lengkap)Jika garis $y=1$ menyinggung parabola $y=ax^{2}+bx+3$ di titik $(-b,1)$, maka $b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{1}{2}\ \text{atau}\ \dfrac{1}{2} \\
(B)\ & -1\ \text{atau}\ 1 \\
(C)\ & -1\ \text{atau}\ 3 \\
(D)\ & 1\ \text{atau}\ 3 \\
(E)\ & -2\ \text{atau}\ 2
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Garis $y=1$ merupakan garis horizontal, sehingga jika menyinggung parabola $y=ax^{2}+bx+3$ di titik $(-b,1)$, maka dapat kita simpulkan bahwa titik $(-b,1)$ merupakan puncak parabola $(x_{p},y_{p})$
$\begin{array}{c|c|cc}
x_{p} = \dfrac{-b}{2a} & y_{p} = \dfrac{-D}{4a} \\
-b = \dfrac{-b}{2a} & 1 = -\dfrac{b^{2}-4ac}{4a} \\
-2ab = -b & -4a = b^{2}-4ac \\
2a = 1 & -4 \cdot \dfrac{1}{2} = b^{2}-4 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 3\\
a = \dfrac{1}{2} & -2 = b^{2}-6\\
& b^{2} = 4
\end{array} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -2\ \text{atau}\ 2 $

35. Soal SPMB 2005 Kode 370 (*Soal Lengkap)Garis $g$ sejajar dengan garis $y=-3x+3$ dan menyinggung kurva $y=2x^{2}+x-3$. Jika garis $g$ memotong sumbu $Y$ di titik $(0,b)$ maka $b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -6 \\
(B)\ & -5 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 3 \\
(E)\ & 5
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Garis $g$ sejajar dengan garis $y=-3x+3$ maka gradien garis $g$ adalah $m_{g}=-3$, maka dapat kita misalkan garis $g$ adalah $g:\ y=-3x+n$

Garis $g:\ y=-3x+n$ juga menyinggung kurva $y=2x^{2}+x-3$, maka diskriminan persamaan kuadrat persekutuan adalah nol $(D = 0)$;
$\begin{align}
y = & y \\
2x^{2}+x-3 = & -3x+n \\
2x^{2}+x+3x-3-n = & 0 \\
2x^{2}+4x-3-n = & 0 \\
D = & b^{2}-4ac \\
0 = & (4)^{2}-4(2)(-3-n) \\
0 = & 16+24+8n \\
8n = & -40 \\
n = & -5
\end{align}$

Garis $g:\ y=-3x+n$ adalah $y=-3x-5$ memotong sumbu $Y$ di titik $(0,-5)$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -5$

36. Soal UM UGM 2004 Kode 332 (*Soal Lengkap)Titik terdekat pada garis $2x-6y=18$ terhadap titik $(1,4)$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \left(-1\dfrac{1}{2},-3\dfrac{1}{2} \right) \\
(B)\ & \left(0,-3 \right) \\
(C)\ & \left( 1\dfrac{1}{2},-2\dfrac{1}{2} \right) \\
(D)\ & \left( 3,-2 \right) \\
(E)\ & \left(9,0 \right)
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Titik terdekat pada garis $2x-6y=18$ terhadap titik $(1,4)$ adalah titik potong garis yang melalui $(1,4)$ dan tegak lurus $2x-6y=18$.

Garis yang akan kita tentukan melalui $(1,4)$ dan tegak lurus dengan $2x-6y=18$ $(m= \dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3})$ sehingga gradien garis yang akan kita tentukan adalah $m=- 3 $.
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-4 & = -3(x-1) \\
y-4 & = -3x +3 \\
y & = -3 x+7
\end{align}$

Titik potong kedua garis singgung
$\begin{array}{c|c|cc}
2x-6y=18 & (\times 3) \\
3x+y = 7 & (\times 2) \\
\hline
6x-18y=54 & \\
6x+2y = 14 & (-) \\
\hline
-20y = 40 & \\
y = -2 & 3x+y = 7 \\
& 3x-2 = 7 \\
& 3x = 9 \\
& x=3
\end{array} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \left( 3,-2 \right)$

37. Soal UM UGM 2004 Kode 322 (*Soal Lengkap)Garis $l$ menyinggung $y=3-2 cos\ x$ di $(a,b)$ garis $h$ menyinggung $y=2cos\ x$ di $(a,c)$. Jika $l \perp h $, dan $0 \lt a \lt \dfrac{\pi}{2}$ maka $b-c=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 3-2\sqrt{3} \\
(B)\ & 3- \sqrt{3} \\
(C)\ & \sqrt{3}-3 \\
(D)\ & 2\sqrt{3}-3 \\
(E)\ & 3\sqrt{3}-3
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Untuk menyelesaikan soal ini kita perlu sedikit catatan tentang turunan yaitu jika $y=k\ \text{k=konstanta}$ maka $y'=0$ dan jika $y=cos\ ax$ maka $y'=-a\ sin\ ax$.

Gradien garis $l$ yang menyinggung $y=3-2 cos\ x$ di $(a,b)$ adalah:
$\begin{align}
m & = y' \\
m & = 2sin\ x \\
m & = 2sin\ a
\end{align}$

Gradien garis $h$ yang menyinggung $y=2cos\ x$ di $(a,c)$ adalah:
$\begin{align}
m & = y' \\
m & = -2sin\ x \\
m & = -2sin\ a
\end{align}$

Karena garis $l \perp h $ maka:
$\begin{align}
m_{l} \cdot m_{h} & = -1 \\
2sin\ a \cdot -2sin\ a & = -1 \\
-4sin^{2}a & = -1 \\
sin^{2}a & = \dfrac{1}{4} \\
sin\ a & = \dfrac{1}{2} \\
a & = 30^{\circ}
\end{align}$

Untuk $a = 30^{\circ}$ garis $l$ menyinggung $y=3-2 cos\ x$ di $(a,b)$ sehingga:
$\begin{align}
y & = 3-2 cos\ x \\
b & = 3-2 cos\ 30^{\circ} \\
& = 3-2 \left( \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \right) = 3- \sqrt{3}
\end{align}$

Untuk $a = 30^{\circ}$ garis $h$ menyinggung $y=2cos\ x$ di $(a,c)$ sehingga:
$\begin{align}
y & = 2cos\ x \\
c & = 2cos\ 30^{\circ} \\
& = 2 \left( \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \right) = \sqrt{3}
\end{align}$

Nilai $b-c$ adalah $3- \sqrt{3}-\sqrt{3}=3-2\sqrt{3}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 3-2\sqrt{3}$

38. Soal UM UGM 2004 Kode 121 (*Soal Lengkap)Persamaan garis singgung kurva $y=x^{2}$ di titik potong kurva tersebut dengan kurva $y=\dfrac{1}{x}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & y+2x+1=0 \\
(B)\ & y+2x-1=0 \\
(C)\ & y-2x+1=0 \\
(D)\ & y-2x-1=0 \\
(E)\ & 2y-x+1=0
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Titik potong kurva $y=x^{2}$ dan kurva $y=\dfrac{1}{x}$
$\begin{align}
y & = y \\
x^{2} & = \dfrac{1}{x} \\
x^{3} & = 1 \\
x^{3} -1 & = 0 \\
x^{3}-1 & = 0 \\
(x-1)(x^{2}+x+1) & = 0
\end{align}$
Salah satu nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=1$ maka $y=x^{2}=1^{2}=1$ sehingga titik potong adalah $(1,1)$

Persamaan garis singgug kurva $y=x^{2}$ di titik $(1,1)$ adalah:
$\begin{align}
m & = y' \\
& = 2x \\
m & = 2(1)=2 \\
\hline
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-1 & = 2(x-1) \\
y & = 2x-2+1 \\
y & = 2x-1
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ y-2x+1=0$

39. Soal SPMB 2004 Kode 440 (*Soal Lengkap)Persamaan garis singgung pada kurva $y=x+\dfrac{3}{x}$ di titik yang berabsis $1$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2x-y+2=0 \\
(B)\ & 2x+y-6=0 \\
(C)\ & 4x-y =0 \\
(D)\ & -2x+y-2=0 \\
(E)\ & -4x-y+6=0
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Persamaan garis singgung pada kurva $y=x+\dfrac{3}{x}$ di titik yang berabsis $1$, maka ordinatnya adalah $y=1+\dfrac{3}{1}=4$

Persamaan garis singgug kurva $y=x+\dfrac{3}{x}$ di titik $(1,4)$ adalah:
$\begin{align}
m & = y' \\
& = 1-\dfrac{3}{x^{2}} \\
m & = 1-\dfrac{3}{1^{2}} \\
& = 1-3=-2 \\
\hline
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-4 & = -2(x-1) \\
y & = -2x+2+4 \\
y & = -2x+6
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2x+y-2=0$

40. Soal SPMB 2004 Kode 541 (*Soal Lengkap)Persamaan garis singgung pada kurva $y=x^{2}+2x-1$ yang sejajar dengan garis $6x+3y-1=0$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 4x+2y-5=0 \\
(B)\ & 2x+ y+5=0 \\
(C)\ & 4x+2y+5=0 \\
(D)\ & 2x+y-5=0 \\
(E)\ & 8x+4y-5=0
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Garis singgung kurva $y=x^{2}+2x-1$ yang sejajar dengan garis $6x+3y-1=0$ $(m=-\dfrac{6}{3}=-2)$ sehingga:
$\begin{align}
m & = y' \\
-2 & = 2x+2 \\
-2-2 & = 2x \\
x & = -2 \\
\hline
y & = x^{2}+2x-1 \\
y & = (-2)^{2}+2(-2)-1 \\
y & = 4-4-1=-1
\end{align}$

Persamaan garis singgung yang akan kita tentukan melalui $(-2,-1)$ dan $m=-2$
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y+1 & = -2(x+2) \\
y & = -2x-4-1 \\
y & = -2x-5
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2x+y+5=0$

41. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)Persamaan garis singgung kurva $y=\sqrt{2x+7}$ yang tegak lurus dengan garis $5x+y-10=0$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x-5y+4=0 \\
(B)\ & x-5y+16=0 \\
(C)\ & x-5y+34=0 \\
(D)\ & x+5y-4=0 \\
(E)\ & x+5y-16=0 \\ \\
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Jika gradien garis singgung kurva adalah $m_{1}$, gradien garis $5x+y-10=0$ adalah $m_{2}=-5$ dan kedua garis saling tegak lurus maka berlaku:
$\begin{align}
m_{1} \times m_{2}=-1 \\
m_{1} \times -5=-1 \\
m_{1} = \dfrac{1}{5}
\end{align}$

Untuk mendapatkan Persamaan Garis Singgung Kurva kita perlu sebuah titik singgung pada kurva dan gradien garis. Gradien persamaan garis singgung pada kurva $y=\sqrt{2x+7}$ gradiennya adalah $m=\dfrac{1}{5}$.
$\begin{align}
y & = \sqrt{2x+7} \\
y & = \left( 2x+7 \right)^{\frac{1}{2}} \\
m=y' & = \frac{1}{2} \left( 2x+7 \right)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2 \\
\dfrac{1}{5} & = \left( 2x+7 \right)^{-\frac{1}{2}} \\
\dfrac{1}{5} & = \dfrac{1}{\sqrt{2x+7}} \\
\sqrt{2x+7} & = 5 \\
2x+7 & = 25 \\
2x & = 18 \\
x & = 9 \\
y & = \sqrt{2x+7}\\
&=\sqrt{2(9)+7}=5
\end{align} $

Persamaan garis singgung kurva melalui titik $(9,5)$ dengan gradien $m=\dfrac{1}{5}$
$\begin{align}
y-y_{1} & = m (x-x_{1}) \\
y-5 & = \dfrac{1}{5} (x-9) \\
5y-25 & = x-9 \\
5y-x-25+9 & = 0 \\
5y-x-16 & = 0 \\
x-5y+16 & = 0
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x-5y+16=0$

42. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)Persamaan garis yang melalui $A(2,-4)$ dan tegak lurus dengan garis singgung kurva $y=2x^{2}-3x-6$ pada titik tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 5x-y-14=0 \\
(B)\ & 5x+y-6=0 \\
(C)\ & x+5y-27=0 \\
(D)\ & x+5y+18=0 \\
(E)\ & x-5y-22=0 \\ \\
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Untuk mendapatkan Persamaan Garis Singgung Kurva kita perlu sebuah titik singgung pada kurva dan gradien garis.
$\begin{align}
y & = 2x^{2}-3x-6 \\
m=y' & = 4x-3 \\
\hline
x=2 \\
\hline
m=4(2)-3=5
\end{align} $

Jika gradien garis singgung kurva adalah $m_{1}=5$, gradien garis adalah $m_{2}$ dan kedua garis saling tegak lurus maka berlaku:
$\begin{align}
m_{1} \times m_{2}=-1 \\
5 \times m_{2}=-1 \\
m_{2} = -\dfrac{1}{5}
\end{align}$

Persamaan garis singgung kurva melalui titik $A(2,-4)$ dengan gradien $m=-\dfrac{1}{5}$
$\begin{align}
y-y_{1} & = m (x-x_{1}) \\
y-(-4) & = -\dfrac{1}{5} (x-2) \\
-5y-20 & = x-2 \\
-5y-20-x+2 & = 0 \\
-5y-x-18 & = 0 \\
x+5y+18 & = 0
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ x+5y+18=0$

43. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019Diberikan fungsi $f(x)=2x^{3}+3x^{2}+6x+5$. Garis singgung kurva $y=f(x)$ di titik dengan absis $x=a$ dan $x=a+1$ saling sejajar. Jarak kedua garis singgung tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{5}{\sqrt{37}} \\
(B)\ & \dfrac{4}{\sqrt{37}} \\
(C)\ & \dfrac{3}{\sqrt{37}} \\
(D)\ & \dfrac{2}{\sqrt{37}} \\
(E)\ & \dfrac{1}{\sqrt{37}}
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Untuk menyelesaikan soal ini kita perlu sedikit catatan tentang turunan yaitu jika $y=f(x)$ maka $m=y'=f'(x)$.

Garis yang menyinggung fungsi $f(x)=2x^{3}+3x^{2}+6x+5$ di $x=a$ dan $x=a+1$ adalah sejajar sehingga gradien kedua garis adalah sama, sehingga berlaku:
$\begin{align}
m = f'(x) & = 6x^{2}+6x+6 \\
\hline
x=a\ & \rightarrow m= 6a^{2}+6a+6 \\
x=a+1\ & \rightarrow m= 6(a+1)^{2}+6(a+1)+6
\end{align}$

$\begin{align}
6a^{2}+6a+6 & = 6 a^{2}+12a+6+6 a+6+6 \\
6a^{2}+6a+6 & = 6 a^{2}+18a+18 \\
-12 & = 12a \\
a & = -1
\end{align}$

Untuk $x=-1$ maka $y=0$ dan gradien garis singgung adalah $m=y'=6x^{2}+6x+6=6$, persamaan garis adalah:
$\begin{align}
y-y_{1} & = m \left( x-x_{1} \right) \\
y-0 & = 6 \left( x+1 \right) \\
y & = 6 x+ 6
\end{align}$

Untuk $x=0$ maka $y=5$ dan gradien garis singgung adalah $m=y'=6x^{2}+6x+6=6$, persamaan garis adalah:
$\begin{align}
y-y_{1} & = m \left( x-x_{1} \right) \\
y-5 & = 6 \left( x+0 \right) \\
y & = 6 x+5
\end{align}$

Jarak kedua garis adalah jarak titik (-1,0) pada garis $y = 6 x+6$ ke garis $y = 6 x+5$, yaitu:
$\begin{align}
d & = \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right| \\
& = \left| \dfrac{(-6)(-1)+(1)(0)-5}{\sqrt{(-6)^{2}+(1)^{2}}} \right| \\
& = \left| \dfrac{1}{\sqrt{36+1}} \right| \\
& = \left| \dfrac{1}{\sqrt{37}} \right|
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{1}{\sqrt{37}}$

Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras

lembar jawaban penilaian harian matematika,

lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,

presentasi hasil diskusi matematika atau

pembahasan quiz matematika di kelas.

CMIIWJADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE

var labelArray = ["Bank Soal", "Lingkaran"]; var relatedPostConfig = { homePage: "https://siapujianmadrasah.blogspot.com/", widgetTitle: "<div class='label-line-c'><h4>Related Posts</h4></div>", numPosts: 8, titleLength: "auto", thumbnailWidth: 250, thumbnailHeight: 170, noImage: "//3.bp.blogspot.com/-ltyYh4ysBHI/U04MKlHc6pI/AAAAAAAADQo/PFxXaGZu9PQ/w255-h170-c/no-image.png", containerId: "related-post-7422236970476829042", newTabLink: false, moreText: "Read More", widgetStyle: 3, callBack: function() {} };

Home function insertAfter(addition, konten) { var parent = konten.parentNode; if (parent.lastChild == konten) { parent.appendChild(addition); } else { parent.insertBefore(addition, konten.nextSibling); } } function insertAbove(addition, konten) { var parent = konten.parentNode; parent.insertBefore(addition, konten); } function insertBellow(addition) { var parent = konten; parent.appendChild(addition); } var iklan1 = document.getElementById("kode-iklan-tengah1"); var iklan2 = document.getElementById("kode-iklan-tengah2"); var iklanAtas = document.getElementById("kode-iklan-atas"); var iklanBawah = document.getElementById("kode-iklan-bawah"); var bacaJuga = document.getElementById("baca-juga"); var konten = document.getElementById("body-post-it"); var lokasi = konten.querySelectorAll("br,p,div > br,div > div > br,div > div > div > br,div > p,div > div > p,div > div > div > p,span > br, span > p"); if (lokasi.length > 0) { insertAbove(iklanAtas,konten); insertBellow(iklanBawah); } if (lokasi.length > lokasiIklanTengah1) { insertAfter(iklan1,lokasi[lokasiIklanTengah1]); } else { iklan1.innerHTML = ""; } if (lokasi.length > lokasiIklanTengah2) { insertAfter(iklan2,lokasi[lokasiIklanTengah2]); } else { iklan2.innerHTML = ""; } if (lokasi.length > lokasiBacaJuga) { insertAfter(bacaJuga,lokasi[lokasiBacaJuga]); } else { bacaJuga.innerHTML = ""; }

$(window).scroll(function() { if($(this).scrollTop() > 200) { $('#back-to-top').fadeIn(); } else { $('#back-to-top').fadeOut(); } }); $('#back-to-top').hide().click(function() { $('html, body').animate({scrollTop:0}, 1000); return false; }); //<![CDATA[ if(relatedPosts==1){ var randomRelatedIndex,showRelatedPost;!function(e,a,l){var g={widgetTitle:"<h4>Artikel Terkait:</h4>",widgetStyle:3,homePage:"http://www.dte.web.id",numPosts:8,summaryLength:0,titleLength:"auto",thumbnailWidth:255,thumbnailHeight:170,noImage:"data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAAEAAAABCAIAAACQd1PeAAAAA3NCSVQICAjb4U/gAAAADElEQVQImWOor68HAAL+AX7vOF2TAAAAAElFTkSuQmCC",containerId:"related-post",newTabLink:!1,moreText:"Baca Selengkapnya",callBack:function(){}};for(var t in relatedPostConfig)g[t]="undefined"==relatedPostConfig[t]?g[t]:relatedPostConfig[t];var r=function(e){var t=a.createElement("script");t.type="text/javascript",t.src=e,l.appendChild(t)},A=function(e){var t,a,l=e.length;if(0===l)return!1;for(;--l;)t=Math.floor(Math.random()*(l+1)),a=e[l],e[l]=e[t],e[t]=a;return e},i="object"==typeof labelArray&&0<labelArray.length?"/-/"+A(labelArray)[0]:"";randomRelatedIndex=function(e){var t,a,l=e.feed.openSearch$totalResults.$t-g.numPosts,n=(t=1,a=0<l?l:1,Math.floor(Math.random()*(a-t+1))+t);r(g.homePage.replace(/\/$/,"")+"/feeds/posts/summary"+i+"?alt=json-in-script&orderby=updated&start-index="+n+"&max-results="+g.numPosts+"&callback=showRelatedPost")},showRelatedPost=function(e){var t,a,l,n,r=document.getElementById(g.containerId),i=A(e.feed.entry),s=g.widgetStyle,o=g.widgetTitle+'<ul class="related-post-style-'+s+'">',d=g.newTabLink?' target="_blank"':"",m='<span style="display:block;clear:both;"></span>';if(r){for(var h=0;h<g.numPosts&&h!=i.length;h++){a=i[h].title.$t,l="auto"!==g.titleLength&&g.titleLength<a.length?a.substring(0,g.titleLength)+"…":a,n="media$thumbnail"in i[h]&&!1!==g.thumbnailWidth?i[h].media$thumbnail.url.replace(/.*?:\/\//g,"//").replace(/\/s[0-9]+(\-c)?/,"/w"+g.thumbnailWidth+"-h"+g.thumbnailHeight+"-c"):g.noImage,"summary"in i[h]&&0<g.summaryLength&&i[h].summary.$t.replace(/<br ?\/?>/g," ").replace(/<.*?>/g,"").replace(/[<>]/g,"").substring(0,g.summaryLength);for(var c=0,u=i[h].link.length;c<u;c++)t="alternate"==i[h].link[c].rel?i[h].link[c].href:"#";3==s&&(o+='<li class="related-post-item" tabindex="0"><a class="related-post-item-title" href="'+t+'"'+d+'><img alt="" class="related-post-item-thumbnail" src="'+n+'" width="'+g.thumbnailWidth+'" height="'+g.thumbnailHeight+'"></a><div class="related-post-item-tooltip"><a class="related-post-item-title" title="'+a+'" href="'+t+'"'+d+">"+l+"</a></div>"+m+"</li>")}r.innerHTML=o+="</ul>"+m,g.callBack()}},r(g.homePage.replace(/\/$/,"")+"/feeds/posts/summary"+i+"?alt=json-in-script&orderby=updated&max-results=0&callback=randomRelatedIndex")}(window,document,document.getElementsByTagName("head")[0]); }; //]]> //<![CDATA[ /* Sticky-kit v1.1.2 | WTFPL | Leaf Corcoran 2015 | http://leafo.net */ (function(){var b,f;b=this.jQuery||window.jQuery;f=b(window);b.fn.stick_in_parent=function(d){var A,w,J,n,B,K,p,q,k,E,t;null==d&&(d={});t=d.sticky_class;B=d.inner_scrolling;E=d.recalc_every;k=d.parent;q=d.offset_top;p=d.spacer;w=d.bottoming;null==q&&(q=0);null==k&&(k=void 0);null==B&&(B=!0);null==t&&(t="is_stuck");A=b(document);null==w&&(w=!0);J=function(a,d,n,C,F,u,r,G){var v,H,m,D,I,c,g,x,y,z,h,l;if(!a.data("sticky_kit")){a.data("sticky_kit",!0);I=A.height();g=a.parent();null!=k&&(g=g.closest(k)); if(!g.length)throw"failed to find stick parent";v=m=!1;(h=null!=p?p&&a.closest(p):b("<div />"))&&h.css("position",a.css("position"));x=function(){var c,f,e;if(!G&&(I=A.height(),c=parseInt(g.css("border-top-width"),10),f=parseInt(g.css("padding-top"),10),d=parseInt(g.css("padding-bottom"),10),n=g.offset().top+c+f,C=g.height(),m&&(v=m=!1,null==p&&(a.insertAfter(h),h.detach()),a.css({position:"",top:"",width:"",bottom:""}).removeClass(t),e=!0),F=a.offset().top-(parseInt(a.css("margin-top"),10)||0)-q, u=a.outerHeight(!0),r=a.css("float"),h&&h.css({width:a.outerWidth(!0),height:u,display:a.css("display"),"vertical-align":a.css("vertical-align"),"float":r}),e))return l()};x();if(u!==C)return D=void 0,c=q,z=E,l=function(){var b,l,e,k;if(!G&&(e=!1,null!=z&&(--z,0>=z&&(z=E,x(),e=!0)),e||A.height()===I||x(),e=f.scrollTop(),null!=D&&(l=e-D),D=e,m?(w&&(k=e+u+c>C+n,v&&!k&&(v=!1,a.css({position:"fixed",bottom:"",top:c}).trigger("sticky_kit:unbottom"))),e<F&&(m=!1,c=q,null==p&&("left"!==r&&"right"!==r||a.insertAfter(h), h.detach()),b={position:"",width:"",top:""},a.css(b).removeClass(t).trigger("sticky_kit:unstick")),B&&(b=f.height(),u+q>b&&!v&&(c-=l,c=Math.max(b-u,c),c=Math.min(q,c),m&&a.css({top:c+"px"})))):e>F&&(m=!0,b={position:"fixed",top:c},b.width="border-box"===a.css("box-sizing")?a.outerWidth()+"px":a.width()+"px",a.css(b).addClass(t),null==p&&(a.after(h),"left"!==r&&"right"!==r||h.append(a)),a.trigger("sticky_kit:stick")),m&&w&&(null==k&&(k=e+u+c>C+n),!v&&k)))return v=!0,"static"===g.css("position")&&g.css({position:"relative"}), a.css({position:"absolute",bottom:d,top:"auto"}).trigger("sticky_kit:bottom")},y=function(){x();return l()},H=function(){G=!0;f.off("touchmove",l);f.off("scroll",l);f.off("resize",y);b(document.body).off("sticky_kit:recalc",y);a.off("sticky_kit:detach",H);a.removeData("sticky_kit");a.css({position:"",bottom:"",top:"",width:""});g.position("position","");if(m)return null==p&&("left"!==r&&"right"!==r||a.insertAfter(h),h.remove()),a.removeClass(t)},f.on("touchmove",l),f.on("scroll",l),f.on("resize", y),b(document.body).on("sticky_kit:recalc",y),a.on("sticky_kit:detach",H),setTimeout(l,0)}};n=0;for(K=this.length;n<K;n++)d=this[n],J(b(d));return this}}).call(this); // search form $(function(){$('a[href="#searchfs"]').on("click",function(e){e.preventDefault(),$("#searchfs").addClass("open"),$('#searchfs > form > input[type="search"]').focus()}),$("#searchfs, #searchfs button.close").on("click keyup",function(e){e.target!=this&&"close"!=e.target.className&&27!=e.keyCode||$(this).removeClass("open")})}); // nav menu !function(s){s.fn.menumaker=function(n){var e=s(this),o=s.extend({format:"dropdown",sticky:!1},n);return this.each(function(){s(this).find(".button").on("click",function(){s(this).toggleClass("menu-opened");var n=s(this).next("ul");n.hasClass("open")?n.slideToggle(150).removeClass("open"):(n.slideToggle(150).addClass("open"),"dropdown"===o.format&&n.find("ul").show())}),e.find("li ul").parent().addClass("has-sub"),multiTg=function(){e.find(".has-sub").prepend('<span class="submenu-button"></span>'),e.find(".submenu-button").on("click",function(){s(this).toggleClass("submenu-opened"),s(this).siblings("ul").hasClass("open")?s(this).siblings("ul").removeClass("open").slideToggle(150):s(this).siblings("ul").addClass("open").slideToggle(150)})},"multitoggle"===o.format?multiTg():e.addClass("dropdown"),!0===o.sticky&&e.css("position","fixed")})}}(jQuery),function(s){s(document).ready(function(){s("#cssmenu").menumaker({format:"multitoggle"})})}(jQuery); //]]> //<![CDATA[ jQuery(document).ready(function(){var i=jQuery(window).width();function e(){jQuery("#sidebar-sticky").stick_in_parent({parent:"#wrapper",offset_top:70})}i<768?jQuery("#sidebar-sticky").trigger("sticky_kit:detach"):e(),jQuery(window).resize(function(){(i=jQuery(window).width())<768?jQuery("#sidebar-sticky").trigger("sticky_kit:detach"):e()})}); //]]> window['__wavt'] = 'AOuZoY7jznq0_Y2MO38xM0IYiNkBczeFLQ:1726814294138';_WidgetManager._Init('//www.blogger.com/rearrange?blogID\x3d1996587886525890096','//siapujianmadrasah.blogspot.com/2016/03/bank-soal-dan-pembahasan-matematika.html','1996587886525890096'); _WidgetManager._SetDataContext([{'name': 'blog', 'data': {'blogId': '1996587886525890096', 'title': 'SIAP UJIAN', 'url': 'https://siapujianmadrasah.blogspot.com/2016/03/bank-soal-dan-pembahasan-matematika.html', 'canonicalUrl': 'https://siapujianmadrasah.blogspot.com/2016/03/bank-soal-dan-pembahasan-matematika.html', 'homepageUrl': 'https://siapujianmadrasah.blogspot.com/', 'searchUrl': 'https://siapujianmadrasah.blogspot.com/search', 'canonicalHomepageUrl': 'https://siapujianmadrasah.blogspot.com/', 'blogspotFaviconUrl': 'https://siapujianmadrasah.blogspot.com/favicon.ico', 'bloggerUrl': 'https://www.blogger.com', 'hasCustomDomain': false, 'httpsEnabled': true, 'enabledCommentProfileImages': true, 'gPlusViewType': 'FILTERED_POSTMOD', 'adultContent': false, 'analyticsAccountNumber': '', 'encoding': 'UTF-8', 'locale': 'en', 'localeUnderscoreDelimited': 'en', 'languageDirection': 'ltr', 'isPrivate': false, 'isMobile': false, 'isMobileRequest': false, 'mobileClass': '', 'isPrivateBlog': false, 'isDynamicViewsAvailable': true, 'feedLinks': '\x3clink rel\x3d\x22alternate\x22 type\x3d\x22application/atom+xml\x22 title\x3d\x22SIAP UJIAN - Atom\x22 href\x3d\x22https://siapujianmadrasah.blogspot.com/feeds/posts/default\x22 /\x3e\n\x3clink rel\x3d\x22alternate\x22 type\x3d\x22application/rss+xml\x22 title\x3d\x22SIAP UJIAN - RSS\x22 href\x3d\x22https://siapujianmadrasah.blogspot.com/feeds/posts/default?alt\x3drss\x22 /\x3e\n\x3clink rel\x3d\x22service.post\x22 type\x3d\x22application/atom+xml\x22 title\x3d\x22SIAP UJIAN - Atom\x22 href\x3d\x22https://www.blogger.com/feeds/1996587886525890096/posts/default\x22 /\x3e\n\n\x3clink rel\x3d\x22alternate\x22 type\x3d\x22application/atom+xml\x22 title\x3d\x22SIAP UJIAN - Atom\x22 href\x3d\x22https://siapujianmadrasah.blogspot.com/feeds/7422236970476829042/comments/default\x22 /\x3e\n', 'meTag': '', 'adsenseClientId': 'ca-pub-9635872634060097', 'adsenseHostId': 'ca-host-pub-1556223355139109', 'adsenseHasAds': false, 'adsenseAutoAds': false, 'boqCommentIframeForm': true, 'loginRedirectParam': '', 'view': '', 'dynamicViewsCommentsSrc': '//www.blogblog.com/dynamicviews/4224c15c4e7c9321/js/comments.js', 'dynamicViewsScriptSrc': '//www.blogblog.com/dynamicviews/bea942728df245a5', 'plusOneApiSrc': 'https://apis.google.com/js/platform.js', 'disableGComments': true, 'interstitialAccepted': false, 'sharing': {'platforms': [{'name': 'Get link', 'key': 'link', 'shareMessage': 'Get link', 'target': ''}, {'name': 'Facebook', 'key': 'facebook', 'shareMessage': 'Share to Facebook', 'target': 'facebook'}, {'name': 'BlogThis!', 'key': 'blogThis', 'shareMessage': 'BlogThis!', 'target': 'blog'}, {'name': 'Twitter', 'key': 'twitter', 'shareMessage': 'Share to Twitter', 'target': 'twitter'}, {'name': 'Pinterest', 'key': 'pinterest', 'shareMessage': 'Share to Pinterest', 'target': 'pinterest'}, {'name': 'Email', 'key': 'email', 'shareMessage': 'Email', 'target': 'email'}], 'disableGooglePlus': true, 'googlePlusShareButtonWidth': 0, 'googlePlusBootstrap': '\x3cscript type\x3d\x22text/javascript\x22\x3ewindow.___gcfg \x3d {\x27lang\x27: \x27en\x27};\x3c/script\x3e'}, 'hasCustomJumpLinkMessage': false, 'jumpLinkMessage': 'Read more', 'pageType': 'item', 'postId': '7422236970476829042', 'postImageUrl': 'data:image/png;base64,R0lGODlhAQABAAD/ACwAAAAAAQABAAACADs\x3d', 'pageName': 'Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Persamaan Garis', 'pageTitle': 'SIAP UJIAN: Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Persamaan Garis'}}, {'name': 'features', 'data': {}}, {'name': 'messages', 'data': {'edit': 'Edit', 'linkCopiedToClipboard': 'Link copied to clipboard!', 'ok': 'Ok', 'postLink': 'Post Link'}}, {'name': 'template', 'data': {'name': 'custom', 'localizedName': 'Custom', 'isResponsive': true, 'isAlternateRendering': false, 'isCustom': true}}, {'name': 'view', 'data': {'classic': {'name': 'classic', 'url': '?view\x3dclassic'}, 'flipcard': {'name': 'flipcard', 'url': '?view\x3dflipcard'}, 'magazine': {'name': 'magazine', 'url': '?view\x3dmagazine'}, 'mosaic': {'name': 'mosaic', 'url': '?view\x3dmosaic'}, 'sidebar': {'name': 'sidebar', 'url': '?view\x3dsidebar'}, 'snapshot': {'name': 'snapshot', 'url': '?view\x3dsnapshot'}, 'timeslide': {'name': 'timeslide', 'url': '?view\x3dtimeslide'}, 'isMobile': false, 'title': 'Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Persamaan Garis', 'description': ' Turunan fungsi karena terkait dengan gradien garis , karena gradien sebuah garis dapat ditentukan dengan menggunakan turunan fungsi, sehing...', 'featuredImage': 'data:image/png;base64,R0lGODlhAQABAAD/ACwAAAAAAQABAAACADs\x3d', 'url': 'https://siapujianmadrasah.blogspot.com/2016/03/bank-soal-dan-pembahasan-matematika.html', 'type': 'item', 'isSingleItem': true, 'isMultipleItems': false, 'isError': false, 'isPage': false, 'isPost': true, 'isHomepage': false, 'isArchive': false, 'isLabelSearch': false, 'postId': 7422236970476829042}}]); _WidgetManager._RegisterWidget('_HeaderView', new _WidgetInfo('Header1', 'header', document.getElementById('Header1'), {}, 'displayModeFull')); _WidgetManager._RegisterWidget('_HTMLView', new _WidgetInfo('HTML3', 'bellow-header-widget', document.getElementById('HTML3'), {}, 'displayModeFull')); _WidgetManager._RegisterWidget('_FeaturedPostView', new _WidgetInfo('FeaturedPost1', 'above-post-widget', document.getElementById('FeaturedPost1'), {}, 'displayModeFull')); _WidgetManager._RegisterWidget('_BlogView', new _WidgetInfo('Blog1', 'main', document.getElementById('Blog1'), {'cmtInteractionsEnabled': false, 'lightboxEnabled': true, 'lightboxModuleUrl': 'https://www.blogger.com/static/v1/jsbin/128363787-lbx.js', 'lightboxCssUrl': 'https://www.blogger.com/static/v1/v-css/13464135-lightbox_bundle.css'}, 'displayModeFull')); _WidgetManager._RegisterWidget('_HTMLView', new _WidgetInfo('HTML996', 'iklan-atas', document.getElementById('HTML996'), {}, 'displayModeFull')); _WidgetManager._RegisterWidget('_HTMLView', new _WidgetInfo('HTML997', 'iklan-tengah1', document.getElementById('HTML997'), {}, 'displayModeFull')); _WidgetManager._RegisterWidget('_HTMLView', new _WidgetInfo('HTML998', 'iklan-tengah2', document.getElementById('HTML998'), {}, 'displayModeFull')); _WidgetManager._RegisterWidget('_HTMLView', new _WidgetInfo('HTML999', 'iklan-bawah', document.getElementById('HTML999'), {}, 'displayModeFull')); _WidgetManager._RegisterWidget('_HTMLView', new _WidgetInfo('HTML5', 'sidebar', document.getElementById('HTML5'), {}, 'displayModeFull')); _WidgetManager._RegisterWidget('_PopularPostsView', new _WidgetInfo('PopularPosts1', 'sidebar', document.getElementById('PopularPosts1'), {}, 'displayModeFull')); _WidgetManager._RegisterWidget('_HTMLView', new _WidgetInfo('HTML1', 'sidebar', document.getElementById('HTML1'), {}, 'displayModeFull')); _WidgetManager._RegisterWidget('_HTMLView', new _WidgetInfo('HTML6', 'sidebar-sticky', document.getElementById('HTML6'), {}, 'displayModeFull')); _WidgetManager._RegisterWidget('_HTMLView', new _WidgetInfo('HTML2', 'sidebar-sticky', document.getElementById('HTML2'), {}, 'displayModeFull'));