Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Sistem Persamaan
Catatan calon guru yang kita diskusikan saat ini akan membahas tentang Matematika Dasar Sistem Persamaan. Tetapi jika kita ingin belajar matematika dasar sistem persamaan, maka ada baiknya kita sudah sedikit paham tentang substitusi atau eliminasi, karena pada sistem persamaan proses eliminasi atau substitusi sangat berperan penting agar lebih cepat dalam belajar sistem persamaan. Penerapan sistem persamaan dalam kehidupan sehari-hari juga sangat banyak, beberapa diantaranya dapat dilihat pada beberapa contoh soal yang akan kita diskusikan. Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada sistem persamaan juga sangatlah mudah, jika Anda mengikuti step by step yang kita diskusikan dibawah ini, maka anda akan dengan mudah memahami soal-soal sistem persamaan dan menemukan solusinya.
Soal paling sering umum kita jumpai adalah "Jika selisih uang adik dan kakak $Rp10.000,00$ sedangkan dua kali uang kakak ditambah uang adik berjumlah $Rp40.000,00$ maka jumlah uang mereka adalah..."
Soal ditas kita pilih dari soal UNBK matematika SMP tahun 2018 dan bentuk soal ini adalah salah satu contoh soal yang bisa kita selesaikan dengan menggunakan konsep dari sistem persamaan, baik itu dengan menggunakan eliminasi, substitusi atau dengan menggunakan matriks.
Sistem persamaan yang sudah di diskusiksn sampai tingak SMA kelas XII (dua belas) ada sampai empat sistem persamaan, yaitu:
- Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)
- Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)
- Sistem Persamaan Linear Kuadrat (SPLK)
- Sistem Persamaan Kuadrat Kuadrat (SPKK)
Beberapa sampel soal untuk kita diskusikan yaitu dari soal-soal SBMPTN (Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri), SMMPTN (Seleksi Mandiri Masuk Perguruan Tinggi Negeri), UN (Ujian Nasional) atau dari soal ujian-ujian lain yang masih sesuai dengan bahan diskusi kita. Mari kita coba diskusikan;
1. Soal UNBK Matematika IPA 2018 (*Soal Lengkap)
Tujuh tahun yang lalu umur Ani sama dengan $6$ kali umur Budi. Empat tahun yang akan datang 2 kali umur Ani sama dengan 5 kali umur Budi ditambah dengan $9$ tahun. Umur Budi sekarang adalah....
$(A)\ 42\ \text{tahun}$
$(B)\ 35\ \text{tahun}$
$(C)\ 21\ \text{tahun}$
$(D)\ 18\ \text{tahun}$
$(E)\ 13\ \text{tahun}$
Kita misalkan umur Ani dan Budi saat ini adalah $\text{Ani}=A$ dan $\text{Budi}=B$.
Untuk tujuh tahun yang lalu umur mereka adalah $(A-7)$ dan $(B-7)$, berlaku:
$ \begin{align}
(A-7) & = 6(B-7) \\
A-7 & = 6B-42 \\
A-6B & =-42+7 \\
A-6B & =-35\ \text{(Pers.1)}
\end{align} $
Untuk empat tahun yang akan datang umur mereka adalah $(A+4)$ dan $(B+4)$, berlaku:
$ \begin{align}
2(A+4) & = 5(B+4)+9 \\
2A+8 & = 5B+20+9 \\
2A+8 & = 5B+29 \\
2A-5B & =29-8 \\
2A-5B & =21\ \text{(Pers.2)}
\end{align} $
Dari (Pers.1) dan (Pers.2) kita peroleh;
$\begin{array}{c|c|cc}
A -6B = -35 & \times 2 & 2A-12B = -70 & \\
2A- 5B = 21 & \times 1 & 2A-5B = 21 & - \\
\hline
& & -7B = -91 & \\
& & B = \frac{-91}{-7} & \\
& & B = 13 &
\end{array} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 13\ \text{tahun}$
2. Soal UNBK Matematika IPA 2018 (*Soal Lengkap)
Sebuah toko buku menjual 2 buku gambar dan 8 buku tulis seharga $Rp48.000,00$, sedangkan untuk 3 buku gambar dan 5 buku tulis seharga $Rp37.000,00$. Jika Adi membeli 1 buku gambar dan 2 buku tulis di toko itu, ia harus membayar sebesar...
$(A)\ Rp24.000,00$
$(B)\ Rp20.000,00$
$(C)\ Rp17.000,00$
$(D)\ Rp14.000,00$
$(E)\ Rp13.000,00$
Pada soal disampaikan bahwa harga 2 buku tulis dan 8 buku gambar adalah $48.000$ dan 3 buku tulis dan 5 buku gambar adalah $37.000$.
Dengan memisalkan $\text{buku tulis}=m$ dan $\text{buku gambar}=n$ maka secara simbol bisa kita tuliskan;
$2m+8n=48.000$ atau $6m+24n=144.000$
$3m+5n=37.000$ atau $6m+10n=74.000$
Dari kedua persamaan di atas dengan mengeliminasi atau substitusi kita peroleh:
Dari (Pers.1) dan (Pers.2) kita peroleh;
$\begin{array}{c|c|cc}
2m+8n = 48.000 & \times 3 & 6m+ 24n = 144.000 & \\
3m+5n = 37.000 & \times 2 & 6m+10n=74.000 & - \\
\hline
& & 14n = 70.000 & \\
& & n = 5.000 & \\
n = 5.000 & 3m+5(5.000) & m=4.000 &
\end{array} $
Harga yang harus dibayar untuk 1 buku gambar dan 2 buku tulis di toko itu adalah $1(5.000)+(2)4.000=13.000$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ Rp13.000,00$
3. Soal UNBK Matematika IPS 2018 (*Soal Lengkap)
Kakak membeli $2\ kg$ duku dan $1\ kg$ manggis dengan harga $Rp12.000,00$. Adik membeli $3\ kg$ duku dan $2\ kg$ manggis dengan harga $Rp19.000,00$. Jika ibu membeli $4\ kg$ duku dan $5\ kg$ manggis, maka ibu harus membayar ... rupiah
Jika kita misalkan $\text{duku}=d$ dan $\text{manggis}=m$, maka persamaan yang dibelanjakan kakak dan adik dapt kita tuliskan sebagai berikut;
kakak: $2d\ + 1m\ = 12.000$
adik: $3d\ + 2m\ = 19.000$
ibu: $4d\ + 5m\ = \cdots $
Dari belanja kakak dan adik kita peroleh;
$\begin{array}{c|c|cc}
2d + 1m = 12.000 & \times 2 \\
3d + 2m = 19.000 & \times 1 \\
\hline
4d + 2m = 24.000 & \\
3d + 2m = 19.000 & (-) \\
\hline
d = 5.000 & \\
2d+m=12.000 & m=2.000 \\
2(5.000)+m=12.000 & m=2.000
\end{array} $
Belanja ibu:
$ \begin{align}
4d\ + 5m\ & = 4(5.000) + 5(2.000) \\
& = 20.000+10.000 \\
& = 30.000 \end{align} $
4. Soal SBMPTN 2017 Kode 106 (*Soal Lengkap)
Jika $a$ dan $b$ memenuhi $\begin{cases}\dfrac{9}{a+2b}+\dfrac{1}{a-2b}=2 \\ \dfrac{9}{a+2b}-\dfrac{2}{a-2b}=-1\end{cases}$ maka $a-b^2=\cdots$
$(A)\ 1$
$(B)\ 2$
$(C)\ 3$
$(D)\ 5$
$(E)\ 9$
Misalkan $x=\dfrac{1}{a+2b}$ dan $y=\dfrac{1}{a-2b}$ maka sistem persamaan pada soal dapat ditulis menjadi
\begin{split}
9x+y & = 2\\
9x-2y & = -1
\end{split}
Dengan mengeliminasi atau substitusi kedua sistem persamaan di atas diperoleh $x=\dfrac{1}{9}$ dan $y=1$. Lalu kita substitusi kembali nilai $x$ dan nilai $y$ pada pemisalan diawal, sehingga kita peroleh;
$\begin{split}
& \dfrac{1}{a+2b} = \dfrac{1}{9} \Rightarrow a+2b=9\\
& \dfrac{1}{a-2b} = 1 \Rightarrow a-2b=1
\end{split}$
Sama seperti sebelumnya dengan mengeliminasi atau substitusi kedua sistem persamaan di atas kita peroleh $a=5$ dan $b = 2$.
Jadi $a-b^2\ = (5)-(2)^2\ = 1$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A).\ 1$
5. Soal UM SMA Unggul DEL 2018 (*Soal Lengkap)
Diketahui sistem persamaan:
$\begin{align}
3a+7b+c & = 315 \\
4a+10b+c & = 420
\end{align}$
Maka nilai $a+b+c$ adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 100 \\
(B).\ & 105 \\
(C).\ & 110 \\
(D).\ & 150
\end{align}$
Jika kedua persamaan di atas kita kurangkan maka akan kita peroleh
$\begin{array}{c|c|cc}
3a+7b+c = 315 & \\
4a+10b+c = 420 & (-)\\
\hline
a + 3b = 105 &
\end{array} $
Dari persamaan $3a+7b+c = 315$ kita lakukan manipulasi aljabar sebagai berikut;
$\begin{align}
3a+7b+c & =315 \\
2a+a+6b+b+c & =315 \\
2a+6b+a+b+c & =315 \\
2(a+3b)+a+b+c & =315 \\
2(105)+a+b+c & =315 \\
a+b+c & =315-210 \\
a+b+c & =105
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B).\ 105$
6. Soal UM SMA Unggul DEL 2018 (*Soal Lengkap)
Jika $a$ dan $b$ adalah penyelesaian dari sistem persamaan $\left\{\begin{matrix}
2016a+2017b=6050\\
2017a+2016b=6049
\end{matrix}\right.$ maka nilai $b^{2}-a^{2}$ adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 2 \\
(B).\ & 3 \\
(C).\ & 4 \\
(D).\ & 5
\end{align}$
Jika kedua persamaan kita kurangkan, maka kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
2016a+2017b=6050 & \\
2017a+2016b=6049 & (-)\\
\hline
-a+b=1 & \\
b-a=1 &
\end{array} $
Jika kedua persamaan kita tambahkan, maka kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
2016a+2017b=6050 & \\
2017a+2016b=6049 & (+)\\
\hline
4033a+4033b=12099 & \\
a+b=3 & \\
b+a=3 &
\end{array} $
Nilai $b^{2}-a^{2}=(b+a)(b-a)=3 \cdot 1=3$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B).\ 3$
7. Soal UM SMA Unggul DEL 2018 (*Soal Lengkap)
Diberikan $a,\ b,\ c$ adalah anggota bilangan ril (nyata).
$\left.\begin{matrix}
a+b+c=7\\
\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}=\dfrac{7}{10}
\end{matrix}\right\}$ maka nilai $\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{19}{10} \\
(B)\ & \dfrac{21}{10} \\
(C)\ & \dfrac{23}{10} \\
(D)\ & \dfrac{25}{10}
\end{align}$
Dari kedua persamaan $a+b+c=7$ dan $\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}=\dfrac{7}{10}$ jika kita kalikan maka akan kita peroleh persamaan sebagai berikut:
$\begin{align}
\left ( 7 \right )\left (\dfrac{7}{10} \right ) & =\left ( a+b+c \right )\left (\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a} \right ) \\
\dfrac{49}{10} & = \dfrac{a+b+c}{a+b}+\dfrac{a+b+c}{b+c}+\dfrac{a+b+c}{c+a} \\
\dfrac{49}{10} & =\dfrac{a+b}{a+b}+\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b+c}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{a+c}{c+a} \\ \\
\dfrac{49}{10} & = 1+\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{a}{b+c}+1+\dfrac{b}{c+a}+1 \\
\dfrac{49}{10} & = 3+\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a} \\
\dfrac{49}{10}-3 & = \dfrac{c}{a+b}+\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a} \\
\dfrac{19}{10} & = \dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{19}{10}$
8. Soal SBMPTN 2018 Kode 526 (*Soal Lengkap)
Diketahui sistem persamaan linear $x+2y=a$ dan $2x-y=3$. Jika $a$ merupakan bilangan positif terkecil sehingga persamaan linear tersebut mempunyai penyelesaian bilangan bulat $x=x_{0}$ dan $y=y_{0}$, maka nilai $x_{0}+y_{0}$ adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 1 \\
(B).\ & 2 \\
(C).\ & 3 \\
(D).\ & 4 \\
(E).\ & 5
\end{align}$
Jika kedua persamaan coba kita selesaikan:
$\begin{array}{c|c|cc}
x+2y=a & \times 2 \\
2x-y=3 & \times 1 \\
\hline
2x+4y = 2a & \\
2x-y = 3 & - \\
\hline
5y = 2a-3 & \\
y = \frac{2a-3}{5}
\end{array} $
Agar $y$ bilangan bulat dan $a$ bilangan bulat positif maka $2a-3$ harus kelipatan $5$
$\begin{align}
2a-3 & \equiv 5k \\
2a & \equiv 5k+3 \\
a & \equiv \dfrac{5k+3}{2} \\
\text{Untuk}\ k=1\ \text{maka}\ a & \equiv 4 \\
y & = \frac{2a-3}{5} \\
y & = \frac{2(4)-3}{5}=1 \\
x+2y & = a \\
x+2(1) & = 4 \\
x & = 4-2=2
\end{align}$
$x_{0}+y_{0}=2+1=3$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ 3$
9. Soal SBMPTN 2018 Kode 527 (*Soal Lengkap)
Jika $A$ merupakan himpunan semua nilai $c$ sehingga sistem persamaan linear $x-y=1$ dan $cx+y=1$ memiliki penyelesaian di kuadran $I$, maka $A=\cdots$
$\begin{align}
(A).\ & \left \{ c | c=-1 \right \} \\
(B).\ & \left \{ c | c \lt -1 \right \} \\
(C).\ & \left \{ c | 1 \lt c \lt 1 \right \} \\
(D).\ & \left \{ c | c= 1 \right \} \\
(E).\ & \left \{ c | c \gt 1 \right \}
\end{align}$
Jika kedua persamaan coba kita selesaikan:
$\begin{array}{c|c|cc}
x-y=1 & \\
cx+y=1 & + \\
\hline
x+cx = 2 & \\
x(c+1) = 2 & \\
x = \dfrac{2}{c+1}
\end{array} $
$\begin{array}{c|c|cc}
x-y=1 & \times\ c\\
cx+y=1 & \times\ 1 \\
\hline
cx-cy=c & \\
cx+y=1 & - \\
\hline
-cy-y = c-1 & \\
y(c+1) = -c+1 & \\
y = \dfrac{-c+1}{c+1}
\end{array} $
Karena penyelesaian di kuadran $I$ maka nilai $x \gt 0$ dan $y \gt 0$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
\frac{2}{c+1} & \gt 0 \\
(2)(c+1) & \gt 0 \\
c+1 & \gt 0 \\
c & \gt -1
\end{align}$
$\begin{align}
\dfrac{-c+1}{c+1} & \gt 0 \\
(-c+1)(c+1) & \gt 0 \\
c \lt -1\ &\text{atau}\ c \gt 1
\end{align}$
Irisan $c \gt -1$ dan $c \lt -1\ \text{atau}\ c \gt 1$ adalah $c \gt 1$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E).\ \left \{ c | c \gt 1 \right \}$
10. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 (*Soal Lengkap)
Diberikan sistem $a^{2}x-3y=1$, $\dfrac{4}{3}\left( a+\dfrac{3}{2} \right)x+\left( \dfrac{1}{a}+1 \right)y=6$. Agar sistem tersebut tidak memiliki tepat satu solusi, maka $a=\cdots$
$\begin{align}
(A).\ & \left \{ a \in \mathbb{R}: a=12\ \text{dan}\ a=2 \right \} \\
(B).\ & \left \{ a \in \mathbb{R}: a=6\ \text{dan}\ a=4 \right \} \\
(C).\ & \left \{ a \in \mathbb{R}: a=3\ \text{dan}\ a=-2 \right \} \\
(D).\ & \left \{ a \in \mathbb{R}: a=-5\ \text{dan}\ a=2 \right \} \\
(E).\ & \left \{ a \in \mathbb{R}: a=-2\ \text{dan}\ a=-3 \right \}
\end{align}$
Agar sistem tersebut tidak memiliki tepat satu solusi, maka ada dua kemungkinan yaitu berimpit (banyak solusi) atau sejajar (tidak punya solusi). Dua keadaan ini terjadi saat $m_{1}=m_{2}$
$a^{2}x-3y=1$
$m_{1}=\dfrac{a^{2}}{3}$
$\dfrac{4}{3}\left( a+\dfrac{3}{2} \right)x+\left( \dfrac{1}{a}+1 \right)y=6$
$m_{2}=\dfrac{-\dfrac{4}{3}\left( a+\dfrac{3}{2} \right)}{\dfrac{1}{a}+1}$
Karena $m_{1}=m_{2}$, maka:
$\begin{align}
\dfrac{-\dfrac{4}{3}\left( a+\dfrac{3}{2} \right)}{\dfrac{1}{a}+1} & = \dfrac{a^{2}}{3} \\
-\dfrac{4}{3}\left( a+\dfrac{3}{2} \right) & = \dfrac{a^{2}}{3} \times \left( \dfrac{1}{a}+1 \right)\\
-4 \left( a+\dfrac{3}{2} \right) & = a^{2} \times \left( \dfrac{1}{a}+1 \right)\\
-4a-6 & = a+a^{2}\\
a^{2}+5a+6 & = 0 \\
(a+3)(a+2) & = 0 \\
a=-3\ &\ a=-2
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E).\ \left \{ a \in \mathbb{R}: a=-2\ \text{dan}\ a=-3 \right \}$
11. Soal SNMPTN 2010 Kode 336 (*Soal Lengkap)
Jika penyelesaian sistem persamaan
$\left\{\begin{matrix}
\left ( a+3 \right )x+y=0\\
x+\left ( a+3 \right )y=0
\end{matrix}\right.$
tidak hanya $(x,y)=(0,0)$ saja, maka nilai $a^{2}+6a+17=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & 4 \\
(D)\ & 9 \\
(E)\ & 16
\end{align}$
Karena penyelesaian sistem pertidaksamaan di atas lebih dari satu maka perbandingan koefisien variabel nilainya adalah sama. sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
\dfrac{a+3}{1} & = \dfrac{1}{a+3} \\
(a+3)(a+3) & = 1 \\
a^{2}+6a+9 & = 1 \\
a^{2}+6a+9 [+8] & = 1 [+8] \\
a^{2}+6a+17 & = 9
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 9$
12. Soal SNMPTN 2010 Kode 326 (*Soal Lengkap)
Jika penyelesaian sistem persamaan
$\left\{\begin{matrix}
\left ( a-2 \right )x+y=0\\
x+\left ( a-2 \right )y=0
\end{matrix}\right.$
tidak hanya $(x,y)=(0,0)$ saja, maka nilai $a^{2}-4a+3=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & 4 \\
(D)\ & 9 \\
(E)\ & 16
\end{align}$
Karena penyelesaian sistem persamaan di atas lebih dari satu maka perbandingan koefisien variabel nilainya adalah sama. sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
\dfrac{a-2}{1} & = \dfrac{1}{a-2} \\
(a-2)(a-2) & = 1 \\
a^{2}-4a +4 & = 1 \\
a^{2}-4a +4 [-1]& = 1 [-1] \\
a^{2}-4a +3 & = 0 \\
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 9$
13. Soal SIMAK UI 2009 Kode 921 (*Soal Lengkap)
Jika suatu garis lurus yang melalui titik $(0,-14)$ tidak memotong maupun meyinggung parabola $y=2x^{2}+5x-12$ maka gradien garis tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & m \lt -9 \\
(B)\ & m \lt -1 \\
(C)\ & -1 \lt m \lt -9 \\
(D)\ & 1 \lt m \lt 9 \\
(E)\ & m \gt -9
\end{align}$
Kita misalkan garis lurus melalui titik $(0,-14)$ dengan gradien $m$ yaitu $y=mx-14$.
Karena garis tersebut tidak memotong maupun meyinggung parabola $y=2x^{2}+5x-12$ maka diskriminan persamaan kuadrat persekutuan kurang dari nol $(D \lt 0)$.
$\begin{align}
y & = y \\
2x^{2}+5x-12 & = mx-14 \\
2x^{2}+5x-12-mx+14 & = 0 \\
2x^{2}+(5-m)x+2 & = 0 \\
\hline
D & \lt 0 \\
b^{2}-4ac & \lt 0 \\
(5-m)^{2}-4(2)(2) & \lt 0 \\
m^{2}-10m+25-16 & \lt 0 \\
m^{2}-10m+9 & \lt 0 \\
(m-9)(m-1) & \lt 0 \\
1 \lt m \lt 9
\end{align}$
Simak kembali jika masih kurang paham menentukan Himpunan Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat dengan mudah dan cepat
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1 \lt m \lt 9$
14. Soal UM UGM 2009 Kode 932 (*Soal Lengkap)
Jika garis $(a+b)x+2by=2$ dan garis $ax-(b-3a)y=-4$ berpotongan di $( 1,-1)$, maka $a+b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Karena garis garis $(a+b)x+2by=2$ dan garis $ax-(b-3a)y=-4$ berpotongan di $( 1,-1)$ maka berlaku:
$\begin{align}
(a+b)x+2by & = 2 \\
(a+b)(1)+2b(-1) & = 2 \\
a+b -2b & = 2 \\
a-b & = 2 \\
ax-(b-3a)y & = -4 \\
a(1)-(b-3a)(-1) & = -4 \\
a +b-3a & = -4 \\
-2a +b & = -4 \\
\end{align}$
$\begin{array}{c|c|cc}
a-b=2 & \\
-2a+b=-4 & (+) \\
\hline
-a=-2 & \\
a= 2 & \\
b= 0 & a+b=2
\end{array} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2$
15. Soal SNMPTN 2008 Kode 211 (*Soal Lengkap)
Garis $g$ melalui titik $(0,1)$ dan menyinggung parabola $y=4x-x^{2}$. Jika titik singgungnya terletak di kaudran pertama, maka gradien garis $g$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 6 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & \dfrac{1}{2} \\
(E)\ & \dfrac{1}{6}
\end{align}$
Misal garis $g$ adalah $y=mx+1$ karena melalui $(0,1)$.
Karena garis $y=mx+1$ menyinggung $y=4x-x^{2}$ sehingga berlaku:
$\begin{align}
mx+1 & = 4x-x^{2} \\
x^{2}-4x+mx+1 & = 0 \\
x^{2}+(m-4)x+1 & = 0 \\
\hline
D & = 0 \\
b^{2}-4ac & = 0 \\
(m-4)^{2}-4(1)(1) & = 0 \\
m^{2}-8m+16-4 & = 0 \\
m^{2}-8m+12 & = 0 \\
(m-6)(m-2) & = 0 \\
m = 6 & m = 2
\end{align}$
Garis singgung kurva $y=4x-x^{2}$ yang melalui titik $(0,1)$ adalah $y=6x+1$ dan $y=2x+1$.
Karena titik singgungnya di kuadran pertama untuk nilai $m=6$ atau $m=2$ maka gradien $m=y'=4-2x$ dihasilkan oleh $x$ positif.
$\begin{array}{c|c|cc}
m = y' & m = y' \\
6 = 4-2x & 2 = 4-2x \\
6-4 = -2x & 2-4 = -2x \\
2 = -2x & -2 = -2x \\
x = -1 & x = 1 \\
\hline
\end{array} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2$
16. Soal SPMB 2007 Kode 741 (*Soal Lengkap)
Agar garis $y=-10x+4$ menyinggung parabola $y=px^{2}+2x-2$ maka konstanta $p=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -3 \\
(C)\ & -4 \\
(D)\ & -5 \\
(E)\ & -6
\end{align}$
Karena garis $y=-10x+4$ meyinggung parabola $y=px^{2}+2x-2$ maka diskrimian persamaan kuadrat persekutuan sama dengan nol ($D = 0$).
$\begin{align}
y & = y \\
px^{2}+2x-2 & = -10x+4 \\
px^{2}+2x-2+10x-4 & = 0 \\
px^{2}+12x-6 & = 0 \\
D & = 0 \\
b^{2}-4ac & = 0 \\
12^{2}-4(p)(-6) & = 0 \\
144+24p & = 0 \\
24p & =-144 \\
p & =\dfrac{-144}{24}=-6
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -6$
17. Soal SPMB 2005 Kode 370 (*Soal Lengkap)
Jika garis $x+y=p$ menyinggung parabola $y=x^{2}-x-3$, maka konstanta $p=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -3 \\
(B)\ & -2 \\
(C)\ & -1 \\
(D)\ & 0 \\
(E)\ & 1
\end{align}$
Garis $x+y=p$ atau $y=p-x$ menyinggung kurva $y=x^{2}-x-3$, maka berlaku diskriminan persamaan kuadrat persekutuan adalah nol $(D=0)$:
$\begin{align}
y = & y \\
x^{2}-x-3 = & p-x \\
x^{2}-x-3-p+x = & 0 \\
x^{2} -3-p = & 0 \\
D = & b^{2}-4ac \\
0 = & (0)^{2}-4(1)(-3-p) \\
0 = & 12+4p \\
4p = & -12 \\
p = & -3
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -3$
18. Soal SPMB 2004 Kode 541 (*Soal Lengkap)
Agar garis $x+2y+k=0$ menyinggung parabola $y^{2}-2x+4=0$, maka konstanta $k=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -3 \\
(B)\ & -2 \\
(C)\ & -1 \\
(D)\ & 0 \\
(E)\ & 1
\end{align}$
Garis $x+2y+k=0$ atau $x=-2y-k$ menyinggung kurva $y^{2}-2x+4=0$ atau $x=\dfrac{1}{2}y^{2}+2$, maka berlaku diskriminan persamaan kuadrat persekutuan adalah nol $(D=0)$:
$\begin{align}
x & = x \\
\dfrac{1}{2}y^{2}+2 & = -2y-k \\
\dfrac{1}{2}y^{2}+2+2y+k & = 0 \\
\dfrac{1}{2}y^{2} +2y+2+k & = 0
\end{align}$
$\begin{align}
D & = b^{2}-4ac \\
0 & = \left( 2 \right)^{2}-4\left( \dfrac{1}{2} \right)(2+k) \\
0 & = 4-4-2k \\
0 & = -2k \\
k & = 0
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0$
19. Soal SPMB 2004 Kode 241 (*Soal Lengkap)
Jika garis $y=bx-a$ memotong $y=ax^{2}+bx+(a-2b)$ di titik $(1,1)$ dan $(x_{0},y_{0})$ , maka $x_{0}+y_{0} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -6 \\
(B)\ & -5 \\
(C)\ & -4 \\
(D)\ & 0 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Garis $y=bx-a$ memotong kurva $y=ax^{2}+bx+(a-2b)$, di titik $(1,1)$ maka berlaku:
$\begin{align}
ax^{2}+bx+(a-2b) & = y \\
a(1)^{2}+b(1)+(a-2b) & = 1 \\
a +b + a-2b & = 1 \\
2a- b & = 1 \\
hline
bx-a & = y \\
b-a & = 1
\end{align}$
$\begin{array}{c|c|cc}
2a-b = 1 & \\
b-a = 1 & (+) \\
\hline
a = 2 & b=3
\end{array} $
Titik potong $y=3x-2$ memotong kurva $y=2x^{2}+3x-4$ adalah
$\begin{align}
y & = y \\
2x^{2}+3x-4 & = 3x-2 \\
2x^{2}+3x-4-3x+2 & = 0 \\
2x^{2}-2 & = 0 \\
2(x-1)(x+1) & = 0 \\
x=1\ \ x= -1
\end{align}$
Titik potong yang belum diketahui adalah untuk $x=-1$ maka $y=3x-2=3(-1)-2=-5$. Nilai $x_{0}+y_{0} =-1-5=-6$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -6$
20. Soal SPMB 2004 Kode 640 (*Soal Lengkap)
Agar kurva $y=mx^{2}-2mx+m$ seluruhnya terletak di atas kurva $y=2x^{2}-3$, maka konstanta $m$ memenuhi...
$\begin{align}
(A)\ & m \gt 6 \\
(B)\ & m \gt 2 \\
(C)\ & 2 \lt m \lt 6 \\
(D)\ & -6 \lt m \lt 2 \\
(E)\ & -6 \lt m \lt -2
\end{align}$
Karena kurva $y=mx^{2}-2mx+m$ seluruhnya terletak di atas kurva $y=2x^{2}-3$ artinya kedua kurva tidak pernah berpotongan atau bersinggungan maka persamaan kuadrat persekutuan merupakan definit positif maka $a \gt 0$ dan $D \lt 0$.
$\begin{align}
y & = y \\
mx^{2}-2mx+m & = 2x^{2}-3 \\
mx^{2}-2mx+m -2x^{2}+3& = 0 \\
(m-2)x^{2}-2mx+m+3& = 0 \\
\hline
a & \gt 0 \\
m-2 & \gt 0 \\
m & \gt 2 \\
\hline
D & \lt 0 \\
b^{2}-4ac & \lt 0 \\
(-2m)^{2}-4(m-2)(m+3) & \lt 0 \\
4m^{2}-4m^{2}-4m+24 & \lt 0 \\
-4m & \lt -24 \\
m & \gt \dfrac{-24}{-4} \\
m & \gt 6
\end{align}$
Irisan $m \gt 2$ dan $m \gt 6$ adalah $m \gt 6$
Simak kembali tentang Matematika Dasar Pertidaksamaan jika masih kurang paham tentang pertidaksamaan.
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ m \gt 6 $
21. Soal SPMB 2004 Kode 241 (*Soal Lengkap)
Jika garis $y=2x+5$ menyinggung parabola $y=ax^{2}-4x+2$, maka nilai $a$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -3 \\
(B)\ & -2 \\
(C)\ & -1 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Garis $y=2x+5$ menyinggung kurva $y=ax^{2}-4x+2$, maka berlaku diskriminan persamaan kuadrat persekutuan adalah nol $(D=0)$:
$\begin{align}
y & = y \\
ax^{2}-4x+2 & =2x+5 \\
ax^{2}-4x+2-2x-5 & = 0 \\
ax^{2}-6x-3 & = 0 \\
\hline
D & = 0 \\
b^{2}-4ac & = 0 \\
(-6)^{2}-4(a)(-3) & = 0 \\
36+12a & = 0 \\
12a & = -36 \\
a & = -3
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -3$
22. Soal SPMB 2004 Kode 241 (*Soal Lengkap)
Titik potong parabola $y=mx^{2}+ x+m$, $m \neq 0$ dengan garis $y=(m+1)x+1$ adalah $\left(x_{1},y_{1} \right)$ dan $\left(x_{2},y_{2} \right)$. Jika $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1$ maka nilai $m$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Garis $y=(m+1)x+1$ memotong parabola $y=mx^{2}+x+m$, di titik $\left(x_{1},y_{1} \right)$ dan $\left(x_{2},y_{2} \right)$ maka berlaku:
$\begin{align}
y_{1} & = y_{1} \\
mx_{1}^{2}+ x_{1}+m & = (m+1)x_{1}+1 \\
mx_{1}^{2}+ x_{1}+m & = mx_{1}+x_{1}+1 \\
mx_{1}^{2}+ x_{1}+m -mx_{1}-x_{1}-1 & = 0 \\
mx_{1}^{2}-mx_{1}+m-1 & = 0 \\
\hline
y_{2} & = y_{2} \\
mx_{2}^{2}-mx_{2}+m-1 & = 0 \\
\end{align}$
Karena $mx_{1}^{2}-mx_{1}+m-1= 0$ dan $mx_{2}^{2}-mx_{2}+m-1 = 0$ maka persamaan kuadrat $mx^{2}-mx+m-1= 0$ akar-akarnya adalah $x_{1}$ dan $x_{2}$. Sehingga berlaku:
$\begin{align}
x_{1}+x_{2} & = -\dfrac{b}{a} \\
& = -\dfrac{-m}{m}=1 \\
\left( x_{1}+x_{2} \right)^{2} & = 1 \\
x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2x_{1}x_{2} & = 1 \\
1+2x_{1}x_{2} & = 1 \\
2x_{1}x_{2} & = 1-1 \\
\dfrac{c}{a} & = 0 \\
\dfrac{m-1}{m} & = 0 \\
m-1 & = 0 \\
m & = 1
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1$
23. Soal UM UGM 2014 Kode 521 (*Soal Lengkap)
Jika garis $2x-3y+5k-1=0$ memotong parabola $y=x^{2}-2x+k+1$ di dua titik maka nilai $k$ yang memenuhi adalah...
$\begin{align}
(A)\ & k \lt -\dfrac{3}{2} \\
(B)\ & k \lt -\dfrac{2}{3} \\
(C)\ & k \gt -\dfrac{2}{3} \\
(D)\ & k \lt \dfrac{2}{3} \\
(E)\ & k \lt \dfrac{3}{2}
\end{align}$
Pada soal garis $2x-3y+5k-1=0$ atau $y=\dfrac{2}{3}x+\dfrac{5k-1}{3}$ memotong parabola $y=x^{2}-2x+k+1$ di dua titik, sehingga pernah terjadi;
$\begin{align}
y &= y \\
x^{2}-2x+k+1 &= \dfrac{2}{3}x+\dfrac{5k-1}{3} \\
3x^{2}-6x+3k+3 &= 2x+ 5k-1 \\
3x^{2}-6x+3k+3-2x -5k+1 &= 0 \\
3x^{2}-8x-2k+4 &= 0
\end{align}$
Karena garis memotong parabola di dua titik maka diskriminan $3x^{2}-8x-2k+4 = 0$ harus lebih dari nol;
$\begin{align}
D & \gt 0 \\
b^{2}-4ac & \gt 0 \\
(-8)^{2}-4(3)(-2k+4) & \gt 0 \\
64+24k-48 & \gt 0 \\
24k+16 & \gt 0 \\
k & \gt \dfrac{-16}{24} \\
k & \gt \dfrac{-2}{3}
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ k \gt -\dfrac{2}{3} $
24. Soal SBMPTN 2014 Kode 652 (*Soal Lengkap)
Jika $2a+1 \lt 0$ dan grafik $y=x^{2}-4ax+a$ bersinggungan dengan grafik $y=2x^{2}+2x$, maka $a^{2}+1=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{17}{16} \\
(B)\ & \dfrac{5}{4} \\
(C)\ & 2 \\
(D)\ & 5 \\
(E)\ & 17
\end{align}$
Grafik $y=x^{2}-4ax+a$ bersinggungan dengan grafik $y=2x^{2}+2x$ maka diskriminan persekutuan adalah nol;
$\begin{align}
y &= y \\
2x^{2}+2x &= x^{2}-4ax+a \\
2x^{2}+2x - x^{2}+4ax-a &= 0 \\
x^{2}+2x+4ax-a &= 0 \\
x^{2}+(2+4a)x-a &= 0
\end{align}$
$\begin{align}
D & = 0 \\
b^{2}-4ac & = 0 \\
(2+4a)^{2}-4(1)(-a) & = 0 \\
16a^{2}+16a+4+4a & = 0 \\
16a^{2}+20a+4 & = 0 \\
4a^{2}+5a+1 & = 0 \\
(4a+1)( a+1) & = 0 \\
a & = -\dfrac{1}{4} \\
a & = -1
\end{align}$
Nilai $a$ yang memenuhi $2a+1 \lt 0$ adalah $a=-1$ sehingga nilai $a^{2}+1=(-1)^{2}+1=2$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 2 $
25. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)
Jumlah $x$ dan $y$ dari solusi $(x,y)$ yang memenuhi sistem persamaan
$\begin{array}{cc}
x-y = a & \\
x^{2}+5x-y = 2 & \\
\end{array} $
adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -12 \\
(B)\ & -10 \\
(C)\ & -6 \\
(D)\ & 6 \\
(E)\ & 10
\end{align}$
Catatan calon guru tentang sistem persamaan mungkin dapat membantu yaitu Karena garis $y=mx+n$ dan parabola $y=ax^{2}+bx+c$ mempunyai satu solusi saat diskrimian persamaan kuadrat persekutuan sama dengan nol $(D=b^{2}-4ac = 0)$.
$\begin{align}
x^{2}+5x-y &= 2 \\
x^{2}+5x-(x-a) &= 2 \\
x^{2}+5x- x+a-2 &= 0 \\
x^{2}+4x+a-2 &= 0 \\
\hline
D &= b^{2}-4ac \\
0 &= 4^{2}-4(1)(a-2) \\
0 &= 16-4a+8 \\
4a &= 24 \\
a &= 6 \\
\hline
x^{2}+4x+6-2 &= 0 \\
x^{2}+4x+4 &= 0 \\
(x+2)(x+2) &= 0 \\
x=-2 & \\
x-y &= a \\
-2-y &= 6 \\
y &= -8 \\
x+y &= -10
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ -10$
26. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)
Jika persamaan garis singgung kurva $y=ax^{2}-bx+3$ pada titik $(1,1)$ tegak lurus garis $6y-x+7=0$, maka $a^{2}+b^{2}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 8 \\
(B)\ & 10 \\
(C)\ & 13 \\
(D)\ & 20 \\
(E)\ & 52
\end{align}$
Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang persamaan garis yaitu:
- $m_{1} \cdot m_{2}=-1$ saat $g_{1}$ tegak lurus dengan $g_{2}$ atau saat $g_{1} \perp g_{2}$ maka $m_{1} \cdot m_{2}=-1$;
- Untuk sebuah fungsi $f(x)$ gradien di titik $(a,b)$ adalah turunan pertama fungsi untuk $x=a$ yaitu $m=f'(a)$
Pada titik $(1,1)$ dan $y=ax^{2}-bx+3$ maka $1=a(1)^{2}-b(1)+3$ atau $ a -b=-2$
Gradien garis $6y-x+7=0$ adalah $m=-\dfrac{-1}{6}=\dfrac{1}{6}$
Gradien garis singgung kurva $y=ax^{2}-bx+3$ di $(1,-1)$ adalah $m=-6$, maka berlaku
$\begin{align}
y & = ax^{2}-bx+3 \\
m=y' & = 2ax -b \\
-6 & = 2a(1) -b \\
-6 & = 2a -b
\end{align}$
$\begin{array}{c|c|cc}
2a-b = -6 & \\
a-b = -2 & (-) \\
\hline
a = -4 & \\
b = -2 & \\
\hline
a^{2}+b^{2} = (-4)^{2}+(-2)^{2} & \\
a^{2}+b^{2} = 20
\end{array} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 20$
27. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)
Pada tahun $2001$ usia Bayu $7$ tahun lebih tua dari usia Andi, sedangkan jumlah umur mereka pada tahun $2007$ adalah $43$ tahun. Pada tahun $2018$ usia Bayu adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 39\ \text{tahun} \\
(B)\ & 38\ \text{tahun} \\
(C)\ & 37\ \text{tahun} \\
(D)\ & 36\ \text{tahun} \\
(E)\ & 35\ \text{tahun}
\end{align}$
Kita misalkan umur Andi dan Bayu pada tahun $2018$ adalah $\text{Andi}=A$ dan $\text{Bayu}=B$.
Dengan patokan tahun $2018$, tahun $2001$ adalah $17$ tahun yang lalu, sehingga umur mereka adalah $(A-17)$ dan $(B-17)$, berlaku:
$ \begin{align}
(A-17) +7& = (B-17) \\
A-10 & = B-17 \\
A-B & = -7\ \cdots (Pers.1)
\end{align} $
Dengan patokan tahun $2018$, tahun $2007$ adalah $11$ tahun yang lalu, sehingga umur mereka adalah $(A-11)$ dan $(B-11)$, berlaku:
$ \begin{align}
(A-11)+ (B-11) & = 43 \\
A+B & = 43+22 \\
A+B & = 65\ \cdots (Pers.2)
\end{align} $
Dari Sistem Persamaan Linear (Pers.1) dan (Pers.2) kita peroleh;
$\begin{array}{c|c|cc}
A-B = -7 & \\
A+B = 65 & (-) \\
\hline
-2B=-72 \\
B=36
\end{array} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 36\ \text{tahun}$
28. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Diketahui sistem persamaan
$\left\{\begin{matrix}
y=-mx+c\\
y= \left ( x+4 \right )^{2}
\end{matrix}\right.$
Jika sistem persamaan tersebut memiliki tepat satu penyelesaian, maka jumlah semua nilai $m$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -32 \\
(B)\ & -20 \\
(C)\ & -16 \\
(D)\ & -8 \\
(E)\ & -4
\end{align}$
Karena sistem persamaan di atas memiliki tepat satu penyelesaian maka diskriminan $(D=b^{2}-4ac)$ dari persekutuan persamaan kuadrat adalah nol.
$\begin{align}
y & = y \\
\left ( x+4 \right )^{2} & = -mx+c \\
x^{2}+8x+16 +mx -c & = 0 \\
x^{2}+(8+m)x+16-c & = 0 \\
b^{2}-4ac & = 0 \\
(8+m)^{2} -4(1)(16-c) & = 0 \\
m^{2}+16m+64-64+4c & = 0 \\
m^{2}+16m+4c & = 0 \\
m_{1} + m_{2} & = -\dfrac{b}{a}\\
&=-\dfrac{16}{1}=-16
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -16$
29. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Jika $(a,b)$ solusi dari sistem persamaan kuadrat
$\left\{\begin{matrix}
x^{2}+y^{2}-2x=19\\
x+y^{2}=1
\end{matrix}\right.$
maka nilai $a+4b$ yang terbesar adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 4 \\
(B)\ & 5 \\
(C)\ & 10 \\
(D)\ & 11 \\
(E)\ & 14
\end{align}$
Dari sistem persamaan dapat kita peroleh nilai $a$ dan $b$, yaitu:
$\begin{align}
x^{2}+y^{2}-2x &=19 \\
x^{2}+(1-x)-2x &=19 \\
x^{2}-3x+-18 &= 0 \\
(x-6)(x+3) & = 0 \\
x=6\ \text{atau}\ x=-3 & \\
\hline
y^{2}=1-x & \\
\hline
x=6\ \Rightarrow\ & y^{2}=-5\ (imajiner) \\
x=-3\ \Rightarrow\ & y^{2}=4 \\
& y=2\ \text{atau}\ y=-2 \\
\hline
(-3,2)\ \Rightarrow\ & a+4b=5 \\
(-3,-2)\ \Rightarrow\ & a+4b=-11
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 5$
30. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Himpunan $(x,y)$ adalah penyelesaian dari sistem persamaan
$\left\{\begin{matrix}
x^{2}+y^{2}=6\\
\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{y^{2}}{8}=3
\end{matrix}\right.$
Jumlah dari semua nilai $x$ yang memenuhi adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Dari sistem persamaan dapat kita peroleh nilai $a$ dan $b$, yaitu:
$\begin{align}
\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{y^{2}}{8} &=3 \\
8x^{2} + 2y^{2} &=48 \\
8x^{2} + 2 \left( 6-x^{2} \right) &=48 \\
8x^{2} + 12-2x^{2}-48&=0 \\
6x^{2}- 36 &=0 \\
x^{2}- 6 &=0 \\
(x-\sqrt{6})(x+\sqrt{6}) &=0 \\
x=\sqrt{6}\ \text{atau}\ x=-\sqrt{6} & \\
\hline
y^{2}=6-x^{2} & \\
\hline
x=\sqrt{6}\ \Rightarrow\ & y^{2}=0 \\
x=-\sqrt{6}\ \Rightarrow\ & y^{2}=0 \\
\end{align}$
Jumlah semua nilai $x$ dan $y$ yang memenuhi adalah $0$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0$
31. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Diketahui sistem persamaan
$\left\{\begin{matrix}
x^{2}+y^{2}+2y=8\\
x^{2}-y^{2}-2y+4x+8=0
\end{matrix}\right.$
Mempunyai solusi $(x,y)$ dengan $x$ dan $y$ bilangan real. Jumlah semua ordinatnya adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 4 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & -2 \\
(E)\ & -4
\end{align}$
Dari sistem persamaan dapat kita peroleh nilai $a$ dan $b$, yaitu:
$\begin{align}
x^{2}+y^{2}+2y &= 8 \\
x^{2} &= -y^{2}-2y+8 \\
\hline
x^{2}-y^{2}-2y+4x+8 &=0 \\
x^{2}+x^{2}+4x &=0 \\
2x^{2}+4x &=0 \\
x^{2}+2x &=0 \\
x(x+2) &=0 \\
x=0\ \text{atau}\ x=-2 & \\
\hline
x=0\ & \Rightarrow\ -y^{2}-2y+8=0 \\
& \Rightarrow\ y^{2}+2y-8=0 \\
& \Rightarrow\ y_{1}+y_{2} =-2 \\
\hline
x=-2\ & \Rightarrow\ -y^{2}-2y+8=4 \\
& \Rightarrow\ y^{2}+2y-4=0 \\
& \Rightarrow\ y_{1}+y_{2} =-2
\end{align}$
Jumlah semua ordinatnya adalah $(-2)+(-2)=-4$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -4$
32. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Diketahui
$\left\{\begin{matrix}
x^{2}+y^{2}-2y=13\\
x^{2}-y=1
\end{matrix}\right.$
maka nilai $x^{2}+2y$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 10 \\
(B)\ & 11 \\
(C)\ & 12 \\
(D)\ & 13 \\
(E)\ & 14
\end{align}$
Dari sistem persamaan dapat kita peroleh nilai $a$ dan $b$, yaitu:
$\begin{align}
x^{2}+y^{2}-2y &=13 \\
y+1+y^{2}-2y &=13 \\
y^{2}-y -12&= 0 \\
(y-4)(y+3) & = 0 \\
y=4\ \text{atau}\ y=-3 & \\
\hline
x^{2}=y+1 & \\
\hline
y=4\ & \Rightarrow\ x^{2}=5 \\
& \rightarrow\ x^{2}+2y=13 \\
y=-3\ & \Rightarrow\ x^{2}=-2\ (imajiner) \\
& \rightarrow\ x^{2}+2y=-8
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 13$
33. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Jika penyelesaian sistem persamaan
$\left\{\begin{matrix}
\left ( a+2 \right )x+y=0\\
x+\left ( a+2 \right )y=0
\end{matrix}\right.$
tidak hanya $(x,y)=(0,0)$ saja, maka nilai terbesar $a^{2}+3a+9=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 7 \\
(B)\ & 9 \\
(C)\ & 11 \\
(D)\ & 13 \\
(E)\ & 27
\end{align}$
Dari sistem persamaan yang disampaiakn di atas yaitu penyelesaian sistem persamaan di atas lebih dari satu maka perbandingan koefisien variabel nilainya adalah sama.
sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
\dfrac{a+2}{1} & = \dfrac{1}{a+2} \\
(a+2)(a+2) & = (1)(1) \\
a^{2}+4a +4 & = 1 \\
a^{2}+4a +3 & = 0 \\
(a+1)(a+3) & = 0 \\
a=-1\ & \text{atau}\ a=-3 \\
\hline
a=-1\ \rightarrow\ a^{2}+3a+9 & =1-3+9=7 \\
a=-3\ \rightarrow\ a^{2}+3a+9 & =9-9+9=9 \\
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 9$
34. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Diketahui sistem persamaan
$\left\{\begin{matrix}
4^{x}+5^{y}=6 \\
4^{\frac{x}{y}} = 5
\end{matrix}\right.$
Nilai $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & {}^3\!\log 4 \\
(B)\ & {}^3\!\log 20 \\
(C)\ & {}^3\!\log 5 \\
(D)\ & {}^3\!\log 25 \\
(E)\ & {}^3\!\log 6
\end{align}$
Dari sistem persamaan yang disampaikan di atas, kita mungkin butuh sedikit catatan calaon guru tentang logaritma yaitu:
- ${}^a\!\log x\ +{}^a\!\log y={}^a\!\log \left (x\cdot y \right )$
- ${}^a\!\log x= \dfrac{1}{{}^x\!\log a} $
$\begin{align}
4^{x}+5^{y} &= 6 \\
5^{y}+5^{y} &= 6 \\
2 \cdot 5^{y} &= 6 \\
5^{y} &= 3 \\
{}^5\!\log 3= y \\
\hline
4^{x} &= 5^{y}\\
4^{x} &= 5^{{}^5\!\log 3}\\
4^{x} &= 3 \\
{}^4\!\log 3= x
\end{align}$
$\begin{align}
\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} &= \dfrac{1}{{}^4\!\log 3}+\dfrac{1}{{}^5\!\log 3} \\
&= {}^3\!\log 4 + {}^3\!\log 5 \\
&= {}^3\!\log (4 \cdot 5) \\
&= {}^3\!\log 20
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ {}^3\!\log 20$
35. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Jika $(a,b)$ solusi dari sistem persamaan
$\left\{\begin{matrix}
x^{2}+y^{2}=5 \\
x-y^{2}=1
\end{matrix}\right.$
maka nilai $a-3b$ yang terkecil adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 5 \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & -1 \\
(E)\ & -5
\end{align}$
Dari sistem persamaan dapat kita peroleh nilai $a$ dan $b$, yaitu:
$\begin{align}
x^{2}+y^{2} &= 5 \\
x^{2}+(x-1) &= 5 \\
x^{2}+x-6 &= 0 \\
(x+3)(x-2) & = 0 \\
x=-3\ \text{atau}\ x=2 & \\
\hline
y^{2}=x-1 & \\
\hline
x=-3\ \Rightarrow\ & y^{2}=-4\ (imajiner) \\
x=2\ \Rightarrow\ & y^{2}=1 \\
& y=1\ \text{atau}\ y=-1 \\
\hline
(2,1)\ \Rightarrow\ & a-3b=-1 \\
(2,-1)\ \Rightarrow\ & a-3b=5
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -1$
36. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Diketahui sistem persamaan
$\left\{\begin{matrix}
x^{2}+y=16\\
x^{2}+y^{2}-11y=-19
\end{matrix}\right.$
Mempunyai solusi $(x,y)$ dengan $x$ dan $y$ bilangan real. Jumlah semua ordinatnya adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 12 \\
(B)\ & 10 \\
(C)\ & 35 \\
(D)\ & -10 \\
(E)\ & -12
\end{align}$
Dari sistem persamaan dapat kita peroleh:
$\begin{align}
x^{2}+y^{2}-11y &=-19 \\
16-y+y^{2}-11y &=-19 \\
y^{2}-12y+35 &=0 \\
\hline
y_{1}+y_{2} &= -\dfrac{b}{a} \\
&= -\dfrac{-12}{1}=12
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 12$
37. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Jika garis $y=2x-3$ menyinggung parabola $y=4x^{2}+ax+b$ di titik $(-1,-5)$ serta $a$ dan $b$ adalah konstanta, maka $a+b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 8 \\
(B)\ & 9 \\
(C)\ & 10 \\
(D)\ & 11 \\
(E)\ & 12
\end{align}$
Titik $(-1,-5)$ adalah titik singgung sehingga berlaku:
$ \begin{align}
y & =4x^{2}+ax+b \\
-5 & =4(-1)^{2}+a(-1)+b \\
-5 & =4 -a+b \\
-9 & = -a+b \\
a-9 & = b
\end{align} $
Sedikit catatan calon guru yang mungkin kita butuhkan yaitu jika garis $y=2x-3$ menyinggung parabola $y=4x^{2}+ax+b$ maka berlaku diskriminan persamaan kuadrat persekutuan adalah nol $(D=0)$:
$\begin{align}
y & = y \\
4x^{2}+ax+b & = 2x-3 \\
4x^{2}+ax-2x+b+3 & = 0 \\
4x^{2}+(a -2)x+b+3 & = 0 \\
\hline
D & = 0 \\
b^{2}-4ac & = 0 \\
(a-2)^{2}-4(4)(b+3) & = 0 \\
a^{2}-4a+4-16b-48 & = 0 \\
a^{2}-4a -16(a-9)-44 & = 0 \\
a^{2}-4a -16 a+144-44 & = 0 \\
a^{2}-20a+100 & = 0 \\
(a-10) (a-10) &=0 \\
a=10 & \\
\hline
a+b & =10+1=11
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 11$
38. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Jika garis $y=mx$ menyinggung elips $\dfrac{(x-2)^{2}}{4}+\dfrac{(y+1)^{2}}{2}=1$, maka nilai $4m=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & -2 \\
(E)\ & -1
\end{align}$
Sedikit catatan calon guru yang mungkin kita butuhkan pada sistem persamaan yaitu jika garis $y=mx$ menyinggung elips $\dfrac{(x-2)^{2}}{4}+(y+1)^{2}}{2}=1$ maka berlaku diskriminan persamaan kuadrat persekutuan adalah nol $(D=0)$:
$\begin{align}
\dfrac{(x-2)^{2}}{4}+\dfrac{(y+1)^{2}}{2} &=1 \\
(x-2)^{2} + 2(mx+1)^{2} &=4 \\
x^{2}-4x+4 + 2m^{2}x^{2}+4mx+2 &=4 \\
\left(2m^{2}+1\right)x^{2}+(4m-4)x+2 &=0 \\
\hline
D & = 0 \\
b^{2}-4ac & = 0 \\
(4m-4)^{2}-4\left(2m^{2}+1\right)(2) & = 0 \\
16m^{2}-32m-16m^{2}-8 & = 0 \\
-32m -8 & = 0 \\
-32m & = 8 \\
m & = -\dfrac{8}{32}=-\dfrac{1}{4} \\
4m &= 1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 1$
39. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Garis $y=2x+1$ tidak memotong maupun menyinggung hiperbola $\dfrac{(x-2)^{2}}{2}-\dfrac{(y-a)^{2}}{4}=1$, interval nilai $a$ yang memenuhi adalah....
$\begin{align}
(A)\ & -7 \lt a \lt 3 \\
(B)\ & -3 \lt a \lt 7 \\
(C)\ & a \lt 3\ \text{atau}\ a \gt 7 \\
(D)\ & a \lt -7\ \text{atau}\ a \gt 3 \\
(E)\ & 3 \lt a \lt 7
\end{align}$
Sedikit catatan calon guru yang mungkin kita butuhkan pada sistem persamaan yaitu jika garis $y=2x+1$ tidak memotong maupun menyinggung hiperbola $\dfrac{(x-2)^{2}}{2}-\dfrac{(y-a)^{2}}{a}=1$ maka berlaku diskriminan persamaan kuadrat persekutuan kurang dari nol $(D \lt 0)$:
$\begin{align}
\dfrac{(x-2)^{2}}{2}-\dfrac{(y-a)^{2}}{4} &=1 \\
\dfrac{x^{2}-4x+4}{2}-\dfrac{y^{2}-2ay+a^{2}}{4} &=1 \\
2x^{2}-8x+8 - y^{2}+2ay-a^{2} &=4 \\
2x^{2}-8x+8 - (2x+1)^{2}+2a(2x+1)-a^{2} &=4 \\
2x^{2}-8x+8 - \left( 4x^{2}+4x+1 \right)+4ax +2a-a^{2} &=4 \\
-2x^{2}-12x+4ax-a^{2}+2a+3 &= 0 \\
2x^{2}+(12 -4a)x+a^{2}-2a-3 &= 0 \\
\hline
D & \lt 0 \\
b^{2}-4ac & \lt 0 \\
(12-4a)^{2}-4 (2) \left( a^{2}-2a-3 \right) & \lt 0 \\
144-96a+16a^{2}-8a^{2}+16a+24 & \lt 0 \\
8a^{2}-80a +168 & \lt 0 \\
a^{2}- 10a +21 & \lt 0 \\
(a-3)(a-7) & \lt 0
\end{align}$
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat di atas adalah $3 \lt a \lt 7 $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 3 \lt a \lt 7 $
Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras- lembar jawaban penilaian harian matematika,
- lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
- presentasi hasil diskusi matematika atau
- pembahasan quiz matematika di kelas.
Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊
Video pilihan khusus untuk Anda 💗 Masih menganggap matematika hanya hitung-hitungan semata, mari kita lihat kreativitas siswa ini;
