Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Limit Fungsi Aljabar
Catatan calon guru yang kita diskusikan saat ini akan membahas tentang Matematika Dasar Limit Fungsi Aljabar. Tetapi untuk melengkapi matematika dasar limit fungsi, ada dua materi limit yang juga harus kita pahami yaitu Limit Fungsi Trigonometri dan Limit Fungsi Tak hingga. Penerapan limit fungsi dalam kehidupan sehari-hari mungkin tidak terlihat langsung tetapi limit fungsi ini merupakan dasar dalam mempelajari turunan dan sampai kepada integral. Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada limit fungsi aljabar juga sangatlah mudah, jika Anda mengikuti step by step yang kita diskusikan dibawah ini, maka anda akan dengan mudah memahami soal-soal limit fungsi aljabar dan menemukan solusinya.
Limit fungsi ini termasuk materi yang sangat penting dalam kehidupan kita sehari-hari. Hanya saja kita tidak sadar ternyata sedang menggunakan konsep limit fungsi.
Contoh sederhananya ketika kita mengukur berat badan dan hasilnya terlihat adalah $70,5\ kg$. Hasil $70,5\ kg$ ini sebenarnya belum hasil pengukuran yang paling tepat tetapi sudah bisa mewakili hasil pengukuran, karena berat badan kita adalah mendekati $70,5\ kg$. Kata "mendekati" adalah salah satu kata kunci dalam belajar limit fungsi.
Limit Fungsi Aljabar ini merupakan dasar atau modal kita dalam mencoba menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan Limit Fungsi Trigonometri, Limit Fungsi Tak hingga, Diferensial Fungsi (Turunan) dan sampai kepada Integral Fungsi.
Beberapa sampel soal Limit Fungsi Aljabar untuk kita diskusikan kita sadur dari soal-soal SBMPTN (Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri), soal SMMPTN (Seleksi Mandiri Masuk Perguruan Tinggi Negeri), soal UN (Ujian Nasional) atau soal ujian yang dilaksanakan di sekolah.
Pembahasan limit fungsi aljabar yang kita jabarkan di bawah ini masih jauh dari sempurna, jadi jika ada masukan yang sifatnya membangun silahkan disampaikan.
Sedikit informasi tambahan yang mungkin tidak terlalu penting, kemarin siswa baru selesai penilaian harian tentang limit dan ada beberapa siswa yang mendapat nilai sempurna, sehingga sebagai kenang-kenangan hasil pekerjaan siswa kita photo dan ditampilkan sebagai photo dari artikel ini karena hasil sempurna.
Sebagai catatan sederhana tentang limit fungsi yaitu baik untuk limit fungsi aljabar dan trigonometri.
Berdasarkan defenisi limit, Jika nilai Limit Kiri = Limit Kanan=L secara simbol dituliskan $\lim\limits_{x \to a^{+}}f(x)=\lim\limits_{x \to a^{-}}f(x)=L$ maka nilai $\lim\limits_{x \to a}f(x)=L$.
Nilai limit fungsi $\lim\limits_{x \to a}f(x)$ dapat ditentukan dengan cara mensubstitusi nilai $x=a$ ke fungsi $f(x)$.
Tetapi jika nilai yang dihasilkan adalah bentuk tak tentu antara lain $\dfrac{0}{0}, \, \dfrac{\infty}{\infty} , \, \infty - \infty , \, 0^0 , \, \infty ^ \infty $ maka dilakukan manipulasi aljabar dengan cara memfaktorkan atau mengalikan dengan akar sekawan atau dengan manipulasi aljabar lainnya, selama tidak menyalahi aturan-aturan pada matematika.
Menyelesaikan Limit fungsi aljabar dengan pemfaktoran
Bentuk-bentuk pemfaktoran yang sering digunakan antara lain:- $a^{2} - b^{2} = (a+b)(a-b) $
- $ a^{3} - b^{3} = (a-b)(a^{2} + ab + b^{2}) $
- $ a^{3} + b^{3} = (a+b)(a^{2} - ab + b^{2})$
Menyelesaikan Limit Fungsi Aljabar dengan mengalikan akar sekawan
Berikut beberapa bentuk akar sekawan dari beberapa fungsi:- $ \sqrt{x} + \sqrt{a} \, $ akar sekawannya : $ \sqrt{x} - \sqrt{a} $
- $ a\sqrt{x} - b \sqrt{y} \, $ akar sekawannya : $ a\sqrt{x} + b \sqrt{y} $
- $ a\sqrt{x} + b \, $ akar sekawannya : $ a\sqrt{x} - b $
Teorema Limit Fungsi Yang Sangat Penting Dalam menyelesaikan Masalah Limit Fungsi
Andaikan $n$ bilangan bulat positif, $k$ konstanta, dan $f$ dan $f$ dan $g$ adalah fungsi yang mempunyai limit di $c$. Maka berlaku:- $\lim\limits_{x \to c} k=k$
- $\lim\limits_{x \to c} c=c$
- $\lim\limits_{x \to c} kf(x)=k \cdot \lim\limits_{x \to c} f(x)$
- $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)+g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)+\lim\limits_{x \to c} g(x)$
- $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)-g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)-\lim\limits_{x \to c} g(x)$
- $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x) \cdot g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x) \cdot \lim\limits_{x \to c} g(x)$
- $\lim\limits_{x \to c} \left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = \dfrac{\lim\limits_{x \to c} f(x)}{\lim\limits_{x \to c} g(x)}$ dimana $\lim\limits_{x \to c} g(x) \neq 0$
- $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x) \right)^{n} = \left( \lim\limits_{x \to c} f(x) \right)^{n}$
- $\lim\limits_{x \to c} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{ \lim\limits_{x \to c} f(x)}$ dimana $\lim\limits_{x \to c} f(x) \gt 0$ bilamana $n$ genap
Menyelesaikan Limit Fungsi dengan Metode L'Hospital atau Menggunakan Turunan
Cara menyelesaikan limit dengan turunan ini adalah tambahan karena kita harus sudah mengenal atau belajar Turunan Fungsi. Tetapi jika belum mengenal atau belajar Fungsi Turunan, menggunakan cara ini tidak dianjurkan.Jika nilai $\lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{0}{0} \,$
Maka manipulasi aljabar pada limit fungsi tersebut diselesaikan dengan turunan, yaitu:
$ \lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x \to a} \dfrac{f^{\prime} (x)}{g^{\prime} (x)} =
\lim\limits_{x \to a} \dfrac{f^{\prime \prime} (x)}{g^{\prime \prime} (x)}=L$
Mari kita simak contoh Soal Limit Fungsi dan Pembahasannya 😊
1. Soal UM UNDIP 2009 Kode 192 (*Soal Lengkap)
Jika $f(x)=\dfrac{x-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}$, maka $\lim\limits_{x \to 0} f(x)=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & -\dfrac{1}{2} \\
(C)\ & -1 \\
(D)\ & -2 \\
(E)\ & \infty
\end{align}$
Karena $f(x)=\dfrac{x-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}$ maka:
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to 0} f(x) & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}} \cdot \dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{x}}}{\dfrac{1}{\sqrt{x}}} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{x}{\sqrt{x}}-1}{\dfrac{x}{\sqrt{x}}+1} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1} \\
& = \dfrac{\sqrt{0}-1}{\sqrt{0}+1} \\
& = \dfrac{-1}{1}=-1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ -1$
2. Soal UM UNDIP 2011 Kode 111 (*Soal Lengkap)
Nilai $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{3-\sqrt{3x^{2}+2x+9}}{2x}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{1}{6} \\
(B)\ & -\dfrac{1}{3} \\
(C)\ & \dfrac{1}{6} \\
(D)\ & \dfrac{1}{3} \\
(E)\ & \dfrac{2}{3}
\end{align}$
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{3-\sqrt{3x^{2}+2x+9}}{2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{3-\sqrt{3x^{2}+2x+9}}{2x} \cdot \dfrac{3+\sqrt{3x^{2}+2x+9}}{3+\sqrt{3x^{2}+2x+9}} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left( 3-\sqrt{3x^{2}+2x+9} \right) \left( 3+\sqrt{3x^{2}+2x+9} \right)}{ \left(2x \right) \left( 3+\sqrt{3x^{2}+2x+9} \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{9- \left( 3x^{2}+2x+9 \right)}{\left( 2x \right) \left( 3+\sqrt{3x^{2}+2x+9} \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{-\left(3x^{2}+2x \right)}{\left(2x \right) \left( 3+\sqrt{3x^{2}+2x+9} \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{-\left(2x \right) \left(\dfrac{3}{2}x + 1 \right)}{\left(2x \right) \left( 3+\sqrt{3x^{2}+2x+9} \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{-\left(\dfrac{3}{2}x + 1 \right)}{\left( 3+\sqrt{3x^{2}+2x+9} \right)} \\
& = \dfrac{-\left(\dfrac{3}{2}(0) + 1 \right)}{\left( 3+\sqrt{3(0)+2(0)+9} \right)} \\
& = \dfrac{-1}{3+\sqrt{9}} = - \dfrac{1}{6}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -\dfrac{1}{6}$
3. Soal UM UPI 2009
Nilai dari $ \lim\limits_{x \to 2}\ \dfrac{\sqrt{8x}-4}{\sqrt{x+2}-2}$ adalah$ \cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & \dfrac{1}{4} \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 4 \dfrac{1}{4}
\end{align}$
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{8x}-4}{\sqrt{x+2}-2} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{8x}-4}{\sqrt{x+2}-2} \cdot \dfrac{ \left(\sqrt{8x}+4 \right)+\left(\sqrt{x+2}+2 \right)}{\left(\sqrt{8x}+4 \right)\left(\sqrt{x+2}+2 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ \left(8x-16 \right)\left(\sqrt{x+2}+2 \right)}{\left(\sqrt{8x}+4 \right)\left(x+2-4 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ 8 \left(x-2 \right)\left(\sqrt{x+2}+2 \right)}{\left(\sqrt{8x}+4 \right)\left(x-2 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ 8 \left(\sqrt{x+2}+2 \right)}{\left(\sqrt{8x}+4 \right)} \\
& = \dfrac{ 8 \left(\sqrt{2+2}+2 \right)}{\left(\sqrt{8(2)}+4 \right)} \\
& = \dfrac{ 8 \left(2+2 \right)}{\left(4+4 \right)}=4
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 4$
4. Soal UM UNPAD 2006
$ \lim\limits_{x \to -6} \dfrac{\sqrt{x+a}-2}{x+6}=b $ maka $2a+4b= \cdots $
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{1}{4} \\
(B)\ & \dfrac{1}{4} \\
(C)\ & 10 \\
(D)\ & 20 \\
(E)\ & 21
\end{align}$
Nilai $\lim\limits_{x \to -6} \dfrac{\sqrt{x+a}-2}{x+6}=b $.
Jika kita substitusi langsung nilai $x=-6$ maka nilai $\sqrt{-6+a}-2$ harus $0$, karena jika $\sqrt{-6+a}-2$ tidak nol maka nilai limit adalah $\infty$.
$\begin{align}
\sqrt{-6+a}-2 &= 0 \\
\sqrt{-6+a} &= 2 \\
-6+a &= 4 \\
a &= 6+4=10
\end{align}$
Untuk $a=10$ maka
$\lim\limits_{x \to -6} \dfrac{\sqrt{x+10}-2}{x+6}=b $
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to -6} \dfrac{\sqrt{x+10}-2}{x+6} &= b \\
\lim\limits_{x \to -6} \dfrac{\sqrt{x+10}-2}{x+6} \cdot \dfrac{ \left(\sqrt{x+10}+2 \right)}{\left(\sqrt{x+10}+2 \right)} &= b \\
\lim\limits_{x \to -6} \dfrac{x+10-4}{(x+6)\left(\sqrt{x+10}+2 \right)} &= b \\
\lim\limits_{x \to -6} \dfrac{x+6}{(x+6)\left(\sqrt{x+10}+2 \right)} &= b \\
\lim\limits_{x \to -6} \dfrac{1}{\left(\sqrt{x+10}+2 \right)} &= b \\
\dfrac{1}{\left(\sqrt{-6+10}+2 \right)} &= b \\
\dfrac{1}{4} &= b \\
2a+4b &= 2(10)+4(\dfrac{1}{4}) \\
&= 21
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 21$
5. Soal SBMPTN 2016 Kode 355 (*Soal Lengkap)
Jika $a$ dan $b$ adalah dua bilangan real dengan $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}+2ax+b}{x-2}=-3$, maka $ab=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -35 \\
(B)\ & -30 \\
(C)\ & -15 \\
(D)\ & -3 \\
(E)\ & -1
\end{align}$
Nilai $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}+2ax+b}{x-2}=-3$.
Jika kita substitusi langsung nilai $x=2$ maka nilai $x^{2}+2ax+b$ harus $0$, karena jika $x^{2}+2ax+b$ tidak nol maka nilai limit adalah $\infty$.
Karena nilai $x^{2}+2ax+b$ untuk $x=2$ adalah $0$ maka $x-2$ adalah salah satu faktornya sehingga berlaku;
$\begin{align}
x^{2}+2ax+b & \equiv (x-2)(mx+n) \\
x^{2}+2ax+b & \equiv mx^{2}+nx-2mx-2n \\
x^{2}+2ax+b & \equiv mx^{2}+(n-2m)x-2n \\
1 &= m \\
2a &= n-2m=n-2 \\
b &= -2n
\end{align}$
Nilai $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}+2ax+b}{x-2}=-3$, maka
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x-2)(x+n)}{x-2} & =-3 \\
\lim\limits_{x \to 2} (x+n) & =-3 \\
2+n & =-3 \\
n &= -3-2 \\
n &= -5
\end{align}$
Untuk $n=-5$ maka $b=10$ dan $a=-\dfrac{7}{2}$
Nilai $ab=-\dfrac{7}{2} \cdot 10 = -35$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -35$
6. Soal SBMPTN 2014 Kode 542 (*Soal Lengkap)
Jika $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{Ax+B}-2}{x}=1$, maka$\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & B=A^{2} \\
(B)\ & 4B^{2}=A \\
(C)\ & 4B=A^{2} \\
(D)\ & 4B=A \\
(E)\ & A+B=0
\end{align}$
Nilai $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{Ax+B}-2}{x}=1$.
Jika kita substitusi langsung nilai $x=0$ maka nilai $ \sqrt{Ax+B}-2$ harus $0$, karena jika $\sqrt{Ax+B}-2$ tidak nol maka nilai limit adalah $\infty$.
Untuk $x=0$
$\begin{align}
\sqrt{Ax+B}-2 & = 0 \\
\sqrt{A(0)+B}-2 & = 0\\
\sqrt{B} & = 2\\
B & = 4
\end{align}$
Untuk $B=4$
Nilai $\lim\limits_{x \to 0}{lim} \dfrac{\sqrt{Ax+B}-2}{x}=1$, maka
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{Ax+4}-2}{x} & = 1 \\
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{Ax+4}-2}{x} \cdot \dfrac{\sqrt{Ax+4}+2}{\sqrt{Ax+4}+2} & = 1 \\
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left( \sqrt{Ax+4}-2 \right) \left( \sqrt{Ax+4}+2 \right)}{x\left( \sqrt{Ax+4}+2 \right)} & = 1 \\
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left( Ax+4 -4 \right)}{x\left( \sqrt{Ax+4}+2 \right)} & = 1 \\
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{Ax}{x\left( \sqrt{Ax+4}+2 \right)} & = 1 \\
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{A}{ \sqrt{Ax+4}+2 } & = 1 \\
\dfrac{A}{ \sqrt{A(0)+4}+2 } & = 1 \\
\dfrac{A}{ \sqrt{4}+2 } & = 1 \\
\dfrac{A}{4} & = 1 \\
A & = 4
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 4B=A^{2}$
7. Soal SBMPTN 2015 Kode 507 (*Soal Lengkap)
Nilai $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( \sqrt{5-x}-2 \right) \left( \sqrt{2-x}+1 \right)}{1-x}$ adalah$\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{1}{2} \\
(B)\ & -\dfrac{1}{4} \\
(C)\ & -\dfrac{1}{8} \\
(D)\ & \dfrac{1}{4} \\
(E)\ & \dfrac{1}{2}
\end{align}$
Nilai $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( \sqrt{5-x}-2 \right) \left( \sqrt{2-x}+1 \right)}{1-x}$ adalah
$\begin{align}
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( \sqrt{5-x}-2 \right) \left( \sqrt{2-x}+1 \right)}{1-x} \cdot \dfrac{\left( \sqrt{5-x}+2 \right)}{\left( \sqrt{5-x}+2 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( 5-x-4 \right) \left( \sqrt{2+x}+1 \right)}{\left( \sqrt{5-x}+2 \right) \left(1-x \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ \left( \sqrt{2-x}+1 \right)}{\left( \sqrt{5-x}+2 \right)} \\
& = \dfrac{ \sqrt{2-(1)}+1 }{ \sqrt{5-(1)}+2 } \\
& = \dfrac{2}{ \sqrt{4}+2 } \\
& = \dfrac{2}{4} =\dfrac{1}{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \dfrac{1}{2}$
8. Soal SBMPTN 2017 Kode 226(*Soal Lengkap)
Jika kurva $f(x)=ax^{2}+bx+c$ memotong sumbu-$y$ di titik $(0,1)$ dan $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x-1}=-4$ maka $\dfrac{b+c}{a}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -1 \\
(B)\ & -\dfrac{1}{2} \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & \dfrac{3}{2}
\end{align}$
Kurva $f(x)=ax^{2}+bx+c$ memotong sumbu-$y$ di titik $(0,1)$ maka nilai $c=1$ sehingga $f(x)=ax^{2}+bx+1$.
Nilai $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ax^{2}+bx+1}{x-1}=-4$
Jika kita substitusi langsung nilai $x=1$ maka nilai $ax^{2}+bx+1$ harus $0$, karena jika $ax^{2}+bx+1$ tidak nol maka nilai limit adalah $\infty$.
Karena nilai $ax^{2}+bx+1$ untuk $x=1$ adalh $0$ maka $x-1$ adalah salah satu faktornya sehingga berlaku;
$\begin{align}
ax^{2}+bx+1 & \equiv (x-1)(mx+n) \\
ax^{2}+bx+1 & \equiv mx^{2}+nx-mx-n \\
ax^{2}+bx+1 & \equiv mx^{2}+(n-m)x-n \\
-1 &= n \\
b &= n-m \\
b &= -1-m \\
a &= m
\end{align}$
Nilai $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ax^{2}+bx+1}{x-1}=-4$, maka
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{(x-1)(mx+n)}{x-1} & =-4 \\
\lim\limits_{x \to 1} (mx+n) & =-4 \\
\lim\limits_{x \to 1} (mx-1) & =-4 \\
m-1 & =-4 \\
m &= -4+1 \\
m &=-3
\end{align}$
Untuk $m=-3$ nilai $a=-3$, $b=2$ dan $c=1$, maka $\dfrac{b+c}{a}=\dfrac{2+1}{-3}=-1$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -1$
9. Soal UM UGM 2014 Kode 531 (*Soal Lengkap)
Diketahui $f(x)=\sqrt{1+x}$.
Nilai $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{f(3+2h^{2})-f(3-3h^{2})}{h^{2}}$ adalah$\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & \dfrac{2}{3} \\
(C)\ & \dfrac{6}{7} \\
(D)\ & \dfrac{9}{8} \\
(E)\ & \dfrac{5}{4}
\end{align}$
Fungsi $f(x)=\sqrt{1+x}$, maka
$\begin{align}
f(3+2h^{2}) & = \sqrt{1+3+2h^{2}} \\
& = \sqrt{4+2h^{2}} \\
f(3-3h^{2}) & = \sqrt{1+3-3h^{2}} \\
& = \sqrt{4-3h^{2}}
\end{align}$
Nilai $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{f(3+2h^{2})-f(3-3h^{2})}{h^{2}}$ adalah
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{4+2h^{2}}-\sqrt{4-3h^{2}}}{h^{2}} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{4+2h^{2}}-\sqrt{4-2h^{2}}}{h^{2}} \cdot \dfrac{\sqrt{4+2h^{2}}+\sqrt{4-3h^{2}}}{\sqrt{4+2h^{2}}+\sqrt{4-3h^{2}}} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left(4+2h^{2}\right) -\left(4-3h^{2}\right)}{h^{2} \left(\sqrt{4+2h^{2}}+\sqrt{4-3h^{2}} \right)}\\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4+2h^{2}-4+3h^{2}}{h^{2} \left(\sqrt{4+2h^{2}}+\sqrt{4-3h^{2}} \right)}\\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{5h^{2}}{h^{2} \left(\sqrt{4+2h^{2}}+\sqrt{4-3h^{2}} \right)}\\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{5}{ \sqrt{4+2h^{2}}+\sqrt{4-3h^{2}} }\\
& = \dfrac{5}{\sqrt{4+0}+\sqrt{4-0} } \\
& = \dfrac{5}{4}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \dfrac{5}{4}$
10. Soal USM STIS 2017 (*Soal Lengkap)
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1-x}-1}{1-\sqrt[3]{1-x}}$ adalah$\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{3}{2} \\
(B)\ & \dfrac{2}{3} \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & -\dfrac{2}{3} \\
(E)\ & -\dfrac{3}{2}
\end{align}$
Untuk menyelesaikan limit ini untuk menghemat penulisan kita coba dengan memisalkan $m=\sqrt{1-x}$, karena $x \to 0$ maka $m \to 1$.
Soal limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1-x}-1}{1-\sqrt[3]{1-x}}$ sudah bisa kita tuliskan menjadi $\lim\limits_{m \to 1} \dfrac{m-1}{1-\sqrt[3]{m^{2}}}$ atau $\lim\limits_{m \to 1} \dfrac{m-1}{1-m^{\frac{2}{3}}}$.
Soal ini bisa kita kerjakan dengan mengalikan akar sekawan tetapi prosesnya lebih panjang jadi untuk soal ini kita coba dengan memakai turunan;
turunan $m-1$ adalah $1-0=1$.
turunan $1-m^{\frac{2}{3}}$ adalah $0-\dfrac{2}{3}m^{-\frac{1}{3}}=-\dfrac{2}{3}m^{-\frac{1}{3}}$
$\begin{align}
& \lim\limits_{m \to 1} \dfrac{m-1}{1-m^{\frac{2}{3}}} \\
& = \lim\limits_{m \to 1} \dfrac{1}{\dfrac{2}{3}m^{-\frac{1}{3}}} \\
& = \dfrac{1}{-\frac{2}{3}(1)^{-\frac{1}{3}}} \\
& = \dfrac{1}{-\dfrac{2}{3}} = - \dfrac{3}{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ - \dfrac{3}{2}$
11. Soal SBMPTN 2018 Kode 526 (*Soal Lengkap)
Diketahui $O(0,0)$, $A(1,0)$, $B(2,0)$, $C(2,y)$, dan $D(0,y)$. Nilai $\lim\limits_{y \to 1} \dfrac{keliling\ \square ABCD}{keliling\ \bigtriangleup ACD}$ adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{2}(2\sqrt{3}+3) \\
(B)\ & \dfrac{1}{4}(3\sqrt{2}+2) \\
(C)\ & \dfrac{1}{2}( \sqrt{3}+1) \\
(D)\ & \dfrac{1}{2}(3\sqrt{2}-2) \\
(E)\ & \dfrac{1}{4}(3\sqrt{2}-2)
\end{align} $
Sebelum kita hitung nilai $\lim\limits_{y \to 1} \dfrac{keliling\ \square ABCD}{keliling\ \bigtriangleup ACD}$, coba kita hitung keliling $\square ABCD$ dan keliling $\bigtriangleup ACD$.
Jarak dua titik dapat kita hitung dengan $d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$,
- Jarak titik $A(1,0)$ ke $B(2,0)$ adalah $AB=\sqrt{(2-1)^{2}+(0-0)^{2}}$$=\sqrt{1}=1$
- Jarak titik $B(2,0)$ ke $C(2,y)$ adalah $BC=\sqrt{(2-2)^{2}+(y-0)^{2}}$$=\sqrt{y^{2}}=y$
- Jarak titik $C(2,y)$ ke $D(0,y)$ adalah $CD=\sqrt{(0-2)^{2}+(y-y)^{2}}$$=\sqrt{4}=2$
- Jarak titik $A(1,0)$ ke $D(0,y)$ adalah $AD=\sqrt{(1-0)^{2}+(0-y)^{2}}$$=\sqrt{1+y^{2}}$
- Jarak titik $A(1,0)$ ke $C(2,y)$ adalah $AC=\sqrt{(2-1)^{2}+(y-0)^{2}}$$=\sqrt{1+y^{2}}$
$ \begin{align}
& \text{keliling}\ \square ABCD \\
& = AB+BC+CD+DA \\
& = 1+y+2+\sqrt{1+y^{2}} \\
& = 3+y+\sqrt{1+y^{2}}
\end{align} $
$ \begin{align}
& \text{keliling}\ \bigtriangleup ACD \\
& = AC+CD+DA \\
& = \sqrt{1+y^{2}} +2+\sqrt{1+y^{2}} \\
& = 2+2\sqrt{1+y^{2}}
\end{align} $
$ \begin{align}
& \lim\limits_{y \to 1} \dfrac{keliling\ \square ABCD}{keliling\ \bigtriangleup ACD} \\
& = \lim\limits_{y \to 1} \dfrac{3+y+\sqrt{1+y^{2}}}{2+2\sqrt{1+y^{2}}} \\
& = \dfrac{3+1+\sqrt{1+1^{2}}}{2+2\sqrt{1+1^{2}}} \\
& = \dfrac{4+\sqrt{2}}{2+2\sqrt{2}} \times \dfrac{2-2\sqrt{2}}{2-2\sqrt{2}} \\
& = \dfrac{8-8\sqrt{2}+2\sqrt{2}-4}{4-8} \\
& = \dfrac{4-6\sqrt{2}}{-4} \\
& = \dfrac{2-3\sqrt{2}}{-2} \\
& =\dfrac{1}{2}\left(3\sqrt{2}-2 \right)
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{1}{2}(3\sqrt{2}-2)$
12. Soal SBMPTN 2018 Kode 527 (*Soal Lengkap)
Diketahui $O(0,0)$, $A(2,0)$, $B(2,y)$, $C(0,y)$, dan $D(0,\frac{1}{2}y)$. Nilai $\lim\limits_{y \to 2} \dfrac{keliling\ \bigtriangleup BCD}{keliling\ \square OABD}$ adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & \dfrac{5+2\sqrt{5}}{5} \\
(B)\ & \dfrac{5+\sqrt{5}}{10} \\
(C)\ & \dfrac{1}{2}\sqrt{5} \\
(D)\ & \dfrac{5-2\sqrt{5}}{5} \\
(E)\ & \dfrac{5-\sqrt{5}}{5}
\end{align} $
Sebelum kita hitung nilai $\lim\limits_{y \to 2} \dfrac{keliling\ \bigtriangleup BCD}{keliling\ \square OABD}$, coba kita hitung keliling $\square OABD$ dan keliling $\bigtriangleup BCD$.
Jarak dua titik dapat kita hitung dengan $d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$,
- Jarak titik $O(0,0)$ ke $A(2,0)$ adalah $OA=\sqrt{(2-0)^{2}+(0-0)^{2}}$$=\sqrt{4}=2$
- Jarak titik $A(2,0)$ ke $B(2,y)$ adalah $AB=\sqrt{(2-2)^{2}+(y-0)^{2}}$$=\sqrt{y^{2}}=y$
- Jarak titik $B(2,y)$ ke $D(0,\frac{1}{2}y)$ adalah $BD=\sqrt{(0-2)^{2}+(\frac{1}{2}y-y)^{2}}$$=\sqrt{4+\frac{1}{4}y^{2}}$
- Jarak titik $O(0,0)$ ke $D(0,\frac{1}{2}y)$ adalah $OD=\sqrt{(0-0)^{2}+(0-\frac{1}{2}y)^{2}}$$=\sqrt{\frac{1}{4}y^{2}}=\frac{1}{2}y$
- Jarak titik $B(2,y)$ ke $C(0,y)$ adalah $BC=\sqrt{(2-0)^{2}+(y-y)^{2}}$$=\sqrt{4}=2$
- Jarak titik $C(0,y)$ ke $D(0,\frac{1}{2}y)$ adalah $CD=\sqrt{(0-0)^{2}+(\frac{1}{2}y-y)^{2}}$$=\sqrt{\frac{1}{4}y^{2}}=\frac{1}{2}y$
$ \begin{align}
& \text{keliling}\ \bigtriangleup BCD \\
& = BC+CD+DB \\
& = 2+\frac{1}{2}y +\sqrt{4+\frac{1}{4}y^{2}}
\end{align} $
$ \begin{align}
& \text{keliling}\ \square OABD \\
& = OA+AB+BD+DO \\
& = 2+y+\sqrt{4+\frac{1}{4}y^{2}}+\frac{1}{2}y \\
& = 2+\frac{3}{2}y+\sqrt{4+\frac{1}{4}y^{2}}
\end{align} $
$ \begin{align}
& \lim\limits_{y \to 2} \dfrac{keliling\ \bigtriangleup BCD}{keliling\ \square OABD} \\
& = \lim\limits_{y \to 2} \dfrac{2+\frac{1}{2}y +\sqrt{4+\frac{1}{4}y^{2}}}{2+\frac{3}{2}y+\sqrt{4+\frac{1}{4}y^{2}}} \\
& = \dfrac{2+\frac{1}{2}(2) +\sqrt{4+\frac{1}{4}(2)^{2}}}{2+\frac{3}{2}(2)+\sqrt{4+\frac{1}{4}(2)^{2}}} \\
& = \dfrac{2+1+\sqrt{4+1}}{2+3+\sqrt{4+1}} \\
& = \dfrac{3+\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}} \times \dfrac{5-\sqrt{5}}{5-\sqrt{5}} \\
& = \dfrac{15-3\sqrt{5}+5\sqrt{5}-5}{25-5} \\
& = \dfrac{10+2\sqrt{5}}{20} \\
& = \dfrac{5+\sqrt{5}}{10}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{5+\sqrt{5}}{10}$
13. Soal SIMAK UI 2018 Kode 416 (*Soal Lengkap)
Jika $\lim\limits_{x \to -3} \dfrac{\frac{1}{ax}+\frac{1}{3}}{bx^{3}+27}=-\dfrac{1}{3^{5}}$, nilai $a+b$ untuk $a$ dan $b$ bulat positif adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -4 \\
(B)\ & -2 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 4
\end{align}$
Untuk menyelesaikan soal limit di atas sehingga hasilnya seperti yang diharapkan, kita coba dengan menggunakan turunan. Kita anggap pada turunan pertama nilai limit untuk $x \to -3$ hasilnya adalah $-\dfrac{1}{3^{5}}$.
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to -3} \dfrac{\frac{1}{ax}+\frac{1}{3}}{bx^{3}+27} & = -\dfrac{1}{3^{5}} \\
\lim\limits_{x \to -3} \dfrac{\frac{1}{a}x^{-1}+\frac{1}{3}}{bx^{3}+27} & = -\dfrac{1}{3^{5}} \\
\lim\limits_{x \to -3} \dfrac{-\frac{1}{ax^{2}}}{3bx^{2}} & = -\dfrac{1}{3^{5}} \\
\lim\limits_{x \to -3} \dfrac{-1}{3bx^{2} \cdot ax^{2}} & = -\dfrac{1}{3^{5}} \\
\lim\limits_{x \to -3} \dfrac{-1}{3abx^{4}} & = -\dfrac{1}{3^{5}} \\
-\dfrac{1}{3ab(-3)^{4}} & = -\dfrac{1}{3^{5}} \\
-\dfrac{1}{ ab3^{5}} & = -\dfrac{1}{3^{5}} \\
ab & = 1
\end{align}$
Untuk $a$ dan $b$ bilangan bulat positif yang memenuhi $ab=1$ adalah $a=1$ dan $b=1$, maka $a+b=2$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 2$
14. Soal SIMAK UI 2018 Kode 421 (*Soal Lengkap)
Jika $\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{3\sqrt{x}-2}}{x^{2}-16}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{64} \\
(B)\ & \dfrac{1}{128} \\
(C)\ & \dfrac{1}{256} \\
(D)\ & \dfrac{1}{512} \\
(E)\ & \dfrac{1}{1024}
\end{align}$
Untuk menyelesaikan soal limit diatas, kita coba dengan memisalkan $\sqrt{x}=p$ sehingga $x^{2}=p^{4}$ dan karena $x \to 4$ maka $p \to 2$, perubahan pada soal menjadi;
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{3\sqrt{x}-2}}{x^{2}-16} \\
& = \lim\limits_{p \to 2} \dfrac{p-\sqrt{3p-2}}{p^{4}-16} \\
& = \lim\limits_{p \to 2} \dfrac{p-\sqrt{3p-2}}{p^{4}-16} \\
& = \lim\limits_{p \to 2} \dfrac{p-\sqrt{3p-2}}{p^{4}-16} \times \dfrac{p+\sqrt{3p-2}}{p+\sqrt{3p-2}} \\
& = \lim\limits_{p \to 2} \dfrac{p^{2}-(3p-2)}{\left (p^{2}-4 \right )\left (p^{2}+4 \right )\left (p+\sqrt{3p-2} \right )} \\
& = \lim\limits_{p \to 2} \dfrac{(p-2)(p-1)}{\left (p-2 \right )\left (p+2 \right )\left (p^{2}+4 \right )\left (p+\sqrt{3p-2} \right )} \\
& = \lim\limits_{p \to 2} \dfrac{ (p-1)}{ \left (p+2 \right )\left (p^{2}+4 \right )\left (p+\sqrt{3p-2} \right )} \\
& = \dfrac{ (2-1)}{ \left (2+2 \right )\left (2^{2}+4 \right )\left (2+\sqrt{3(2)-2} \right )} \\
& = \dfrac{1}{ \left (4 \right )\left (8 \right )\left (4 \right )} = \dfrac{1}{128}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{1}{128}$
15. Soal UMB-PT 2014 Kode 573 (*Soal Lengkap)
$ \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{4-x^{2}}{3-\sqrt{x^{2}+5}}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 3 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 6
\end{align}$
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{4-x^{2}}{3-\sqrt{x^{2}+5}} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{4-x^{2}}{3-\sqrt{x^{2}+5}} \times \dfrac{3+\sqrt{x^{2}+5}}{3+\sqrt{x^{2}+5}} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ \left( 4-x^{2} \right) \left( 3+\sqrt{x^{2}+5} \right)}{9-\left( x^{2}+5 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ \left( 4-x^{2} \right) \left( 3+\sqrt{x^{2}+5} \right)}{4- x^{2} } \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ \left( 3+\sqrt{x^{2}+5} \right)}{1} \\
& = 3+\sqrt{2^{2}+5} \\
& = 3+\sqrt{9}=6
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 6$
16. Soal UMB-PT 2014 Kode 672 (*Soal Lengkap)
$ \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{3-\sqrt{2x+5}}{x+1-\sqrt{2x+5}}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -\dfrac{1}{2} \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & \dfrac{1}{2} \\
(E)\ & 2
\end{align}$
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{3-\sqrt{2x+5}}{x+1-\sqrt{2x+5}} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{3-\sqrt{2x+5}}{3-\sqrt{x+1-\sqrt{2x+5}}} \times \dfrac{3-\sqrt{2x+5}}{3-x+1-\sqrt{2x+5}} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{3-\sqrt{2x+5}}{x+1-\sqrt{2x+5}} \times \dfrac{x+1+\sqrt{2x+5}}{x+1+\sqrt{2x+5}} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left (3-\sqrt{2x+5} \right )\left (x+1+\sqrt{2x+5} \right )}{(x+1)^{2}-(2x+5)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left (3-\sqrt{2x+5} \right )\left (x+1+\sqrt{2x+5} \right )}{ x^{2}-2x+1- 2x-5 } \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left (3-\sqrt{2x+5} \right )\left (x+1+\sqrt{2x+5} \right )}{ x^{2}-4 } \times \dfrac{\left (3+\sqrt{2x+5} \right ) }{ \left (3+\sqrt{2x+5} \right ) } \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left (9- 2x-5 \right )\left (x+1+\sqrt{2x+5} \right )}{ (x-2)(x+2)\left (3+\sqrt{2x+5} \right ) } \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{-2\left (x-2 \right )\left (x+1+\sqrt{2x+5} \right )}{ (x-2)(x+2)\left (3+\sqrt{2x+5} \right ) } \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{-2 \left (x+1+\sqrt{2x+5} \right )}{ (x+2)\left (3+\sqrt{2x+5} \right ) } \\
& = \dfrac{-2 \left( 2+1+\sqrt{2(2)+5 } \right )}{ (2+2)\left (3+\sqrt{2(2)+5} \right ) } \\
& = \dfrac{-2 \left( 3+3 \right)}{(2+2) \left( 3+3 \right)}=-\dfrac{1}{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ -\dfrac{1}{2}$
17. Soal SIMAK UI 2013 Kode 333 (*Soal Lengkap)
$\lim\limits_{x \to 5} \dfrac{\sqrt{x+2 \sqrt{ x+1}}}{\sqrt{x-2 \sqrt{ x+1}}}=\cdots $
$\begin{align}
(A)\ & \sqrt{3}+\sqrt{2} \\
(B)\ & 5-2\sqrt{6} \\
(C)\ & 2\sqrt{6} \\
(D)\ & 5 \\
(E)\ & 5+2\sqrt{6}
\end{align}$
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 5} \dfrac{\sqrt{x+2 \sqrt{ x+1}}}{\sqrt{x-2 \sqrt{ x+1}}} \\
& = \dfrac{\sqrt{5+2 \sqrt{ 5+1}}}{\sqrt{5-2 \sqrt{ 5+1}}} \\
& = \dfrac{\sqrt{5+2 \sqrt{6}}}{\sqrt{5-2 \sqrt{6}}} \\
& = \dfrac{\sqrt{(3+2)+2 \sqrt{3 \cdot 2}}}{\sqrt{(3+2)-2 \sqrt{3 \cdot 2}}} \\
& = \dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}- \sqrt{2}} \times \dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+ \sqrt{2}}\\
& = \dfrac{3+2+2\sqrt{6}}{3- 2} \\
& = 5+2\sqrt{6}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 5+2\sqrt{6}$
18. Soal UMB-PT 2013 Kode 172 (*Soal Lengkap)
$\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-2x}{\sqrt{x^{2}+5}-3}=\cdots $
$\begin{align}
(A)\ & -6 \\
(B)\ & -3 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 3 \\
(E)\ & 6
\end{align}$
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-2x}{\sqrt{x^{2}+5}-3} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-2x}{\sqrt{x^{2}+5}-3} \times \dfrac{\sqrt{x^{2}+5}+3}{\sqrt{x^{2}+5}+3} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x(x-2) \left( \sqrt{x^{2}+5}+3 \right)}{ x^{2}+5-9} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x(x-2) \left( \sqrt{x^{2}+5}+3 \right)}{ (x-2)(x+2)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x \left( \sqrt{x^{2}+5}+3 \right)}{ (x+2)} \\
& = \dfrac{2 \left( \sqrt{2^{2}+5}+3 \right)}{ (2+2)} \\
& = \dfrac{2 \left( 3+3 \right)}{ 4}= 3
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 3$
19. Soal UM UGM 2013 Kode 251 (*Soal Lengkap)
Jika $a=\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-4}{2-\sqrt{x+2}}$ maka nilai $4-a$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -20 \\
(B)\ & -12 \\
(C)\ & -4 \\
(D)\ & 12 \\
(E)\ & 20
\end{align}$
$\begin{align}
a & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-4}{2-\sqrt{x+2}} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x-2)(x+2)}{2-\sqrt{x+2}} \times \dfrac{2+\sqrt{x+2}}{2+\sqrt{x+2}} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x-2)(x+2) \left( 2+\sqrt{x+2} \right)}{4-(x+2)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x-2)(x+2) \left( 2+\sqrt{x+2} \right)}{-(x-2)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ (x+2) \left( 2+\sqrt{x+2} \right)}{-1} \\
& = \dfrac{ (2+2) \left( 2+\sqrt{2+2} \right)}{-1} \\
& = -16 \\
4-a & = 4-(-16)=20
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 20$
20. Soal SIMAK UI 2012 Kode 224 (*Soal Lengkap)
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{5+2\sqrt{x}}-\sqrt{5-2\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}=\cdots $
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{2}{2\sqrt{5}} \\
(B)\ & 2\sqrt{5} \\
(C)\ & \dfrac{2}{5}\sqrt{5} \\
(D)\ & \dfrac{4}{5\sqrt{5}} \\
(E)\ & \dfrac{4}{5} \sqrt{5}
\end{align}$
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{5+2\sqrt{x}}-\sqrt{5-2\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{5+2\sqrt{x}}-\sqrt{5-2\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \times \dfrac{\sqrt{5+2\sqrt{x}}+\sqrt{5-2\sqrt{x}}}{\sqrt{5+2\sqrt{x}}+\sqrt{5-2\sqrt{x}}} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left (5+2\sqrt{x} \right )-\left (5-2\sqrt{x} \right )}{\sqrt{x} \left (\sqrt{5+2\sqrt{x}}+\sqrt{5-2\sqrt{x}} \right )} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4\sqrt{x}}{\sqrt{x} \left (\sqrt{5+2\sqrt{x}}+\sqrt{5-2\sqrt{x}} \right )} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4 }{ \left (\sqrt{5+2\sqrt{x}}+\sqrt{5-2\sqrt{x}} \right )} \\
& = \dfrac{4 }{ \left (\sqrt{5+2\sqrt{0}}+\sqrt{5-2\sqrt{0}} \right )} \\
& = \dfrac{4 }{ \sqrt{5} +\sqrt{5}} \\
& = \dfrac{4 }{ 2\sqrt{5} } = \dfrac{2}{\sqrt{5} }
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{2}{5}\sqrt{5} $
21. Soal SIMAK UI 2012 Kode 222 (*Soal Lengkap)
Misalkan $\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ax^{2}+bx-\sqrt{x}}{x^{2}-16}=\dfrac{1}{2} $, maka bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan $a-2b$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -5 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 6 \\
(D)\ & 7 \\
(E)\ & 8
\end{align}$
Nilai $\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ax^{2}+bx-\sqrt{x}}{x^{2}-16}=\dfrac{1}{2}$.
Jika kita substitusi langsung nilai $x=4$ maka nilai $ax^{2}+bx-\sqrt{x}$ harus $0$, karena jika $ax^{2}+bx-\sqrt{x}$ tidak nol maka nilai limit adalah $\infty$.
Untuk $x=4$
$\begin{align}
ax^{2}+bx-\sqrt{x} & = 0 \\
a(4)^{2}+b(4)-\sqrt{4} & = 0\\
16a +4b -2 & = 0\\
16a +4b & = 2 \\
8a +2b & = 1
\end{align}$
Karena nilai $ax^{2}+bx-\sqrt{x}$ untuk $x=4$ adalah $0$ maka $x-4$ adalah salah satu faktornya sehingga berlaku;
$\begin{align}
ax^{2}+bx-\sqrt{x} & \equiv (x-4)(mx+n) \\
ax^{2}+bx-\sqrt{x} & \equiv mx^{2}+nx-4mx-4n \\
ax^{2}+bx-\sqrt{x} & \equiv mx^{2}+(n-4m)x-4n \\
a &= m \\
\sqrt{x} &= 4n
\end{align}$
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ax^{2}+bx-\sqrt{x}}{x^{2}-16} &=\dfrac{1}{2} \\
\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{(x-4)(ax+\dfrac{1}{4}\sqrt{x}) }{(x-4)(x+4) } &=\dfrac{1}{2} \\
\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ (ax+\dfrac{1}{4}\sqrt{x}) }{ (x+4) } &=\dfrac{1}{2} \\
\dfrac{ (a(4)+\dfrac{1}{4}\sqrt{4}) }{ (4+4) } &=\dfrac{1}{2} \\
4a+\dfrac{1}{2} &= 4 \\
4a &= \dfrac{7}{2} \\
a &= \dfrac{7}{8} \\
\hline
8 \left( \dfrac{7}{8} \right) +2b & = 1 \\
7 +2b & = 1 \\
2b & = -6 \\
b & = -3
\end{align}$
Nilai bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan $a-2b$ dinotasikan $\left \lfloor a-2b \right \rfloor$
$\begin{align}
\left \lfloor a-2b \right \rfloor & = \left \lfloor \dfrac{7}{8}-2(-3) \right \rfloor \\
& = \left \lfloor \dfrac{7}{8}+6 \right \rfloor \\
& = 6
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 6$
22. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)
Diketahui $f(x)=5x^{2}+3$. Hasil dari $\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & 5 \\
(C)\ & 10 \\
(D)\ & 10x \\
(E)\ & 5x^{2}
\end{align}$
Dari informasi pada soal, yang ditanyakan adalah $\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ dari sebuah fungsi $f(x)$. Jika kita teliti dalam membaca soal bahwa yang ditanyakan pada soal adalah turunan fungsi $f(x)$.
Defenisi turunan fungsi $f(x)$ adalah $f'(x)=\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$.
$ \begin{align}
f(x) &=5x^{2}+3 \\
f'(x) &=10x
\end{align}$
Tetapi jika ingin mengerjakannya dengan proses limit fungsi,
$\begin{align}
& \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \\
& = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{ 5(x+h)^{2}+3 -\left( 5x^{2}+3 \right)}{h} \\
& = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{ 5 \left(x^{2}+2hx+h^{2} \right) +3 - 5x^{2}-3}{h} \\
& = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{ 5 x^{2}+10hx+5h^{2} +3 - 5x^{2}-3}{h} \\
& = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{ +10hx+5h^{2}}{h} \\
& = \lim\limits_{h \to 0} \left( +10 x+5h \right) \\
& = 10 x+5(0) \\
& = 10x
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 10x$
23. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)
Nilai $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-6x+8}{3-\sqrt{17-2x^{2}}}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 6 \\
(B)\ & \dfrac{2}{3} \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & -\dfrac{3}{2} \\
(E)\ & -6
\end{align}$
Bentuk soal limit fungsi di atas dapat kita kerjakan dengan menggunakan turunan atau dengan akar sekawan, disini kita coba dengan mengalikan dengan akar sekawan.
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-6x+8}{3-\sqrt{17-2x^{2}}} \cdot \dfrac{3+\sqrt{17-2x^{2}}}{3+\sqrt{17-2x^{2}}} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x-2)(x-4)\left( 3+\sqrt{17-2x^{2}} \right)}{9-\left( 17-2x^{2} \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x-2)(x-4)\left( 3+\sqrt{17-2x^{2}} \right)}{ 2x^{2}-8} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x-2)(x-4)\left( 3+\sqrt{17-2x^{2}} \right)}{ 2(x-2)(x+2)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ (x-4)\left( 3+\sqrt{17-2x^{2}} \right)}{ 2 (x+2)} \\
& = \dfrac{ (2-4)\left( 3+\sqrt{17-2(2)^{2}} \right)}{ 2 (2+2)} \\
& = \dfrac{ (-2)\left( 3+3 \right)}{8} \\
& = -\dfrac{3}{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ -\dfrac{3}{2}$
24. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Jika $\lim\limits_{t \to 2} \left (\sqrt[3]{a+\dfrac{b}{t^{3}}}-2 \right )=A$, maka nilai $\lim\limits_{t \to 2} \left (\sqrt[3]{\dfrac{a}{8}+\dfrac{b}{8t^{3}}}-t+1 \right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{A}{2} \\
(B)\ & \dfrac{A}{3} \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & \dfrac{A+2}{2} \\
(E)\ & \dfrac{A+3}{3} \\
\end{align}$
Catatan calon guru tentang limit fungsi yang mungkin kita butuhkan adalah:
- $\lim\limits_{x \to c} k=k$
- $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)\pm g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)\pm\lim\limits_{x \to c} g(x)$
- $\lim\limits_{x \to c} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{ \lim\limits_{x \to c} f(x)}$ dimana $\lim\limits_{x \to c} f(x) \gt 0$ bilamana $n$ genap
\lim\limits_{t \to 2} \left (\sqrt[3]{a+\dfrac{b}{t^{3}}}-2 \right ) &= A \\
\lim\limits_{t \to 2} \left (\sqrt[3]{a+\dfrac{b}{t^{3}}} \right )-\lim\limits_{t \to 2} \left (2 \right ) &= A \\
\lim\limits_{t \to 2} \left (\sqrt[3]{a+\dfrac{b}{t^{3}}} \right )- 2 &= A \\
\lim\limits_{t \to 2} \left (\sqrt[3]{a+\dfrac{b}{t^{3}}} \right ) &= A+2
\end{align} $
$ \begin{align}
& \lim\limits_{t \to 2} \left (\sqrt[3]{\dfrac{a}{8}+\dfrac{b}{t^{3}}}-t+1 \right ) \\
&= \dfrac{1}{2} \cdot \lim\limits_{t \to 2} \left (\sqrt[3]{a+\dfrac{b}{t^{3}}} \right )-\lim\limits_{t \to 2} \left (t \right )+\lim\limits_{t \to 2} \left (1 \right ) \\
&= \dfrac{1}{2} \cdot \left (A+2 \right )-2+1 \\
&= \dfrac{A}{2}+1-1 = \dfrac{A}{2}
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{A}{2}$
25. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Jika $\lim\limits_{x \to 1} \left (\dfrac{\sqrt{ax^{4}+b}-2 }{x-1} \right )=A$, maka nilai $\lim\limits_{x \to 1} \left (\dfrac{\sqrt{ax^{4}+b}-2x }{x^{2}+2x-3} \right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{2-A}{2} \\
(B)\ & -\dfrac{A}{2} \\
(C)\ & \dfrac{A-2}{4} \\
(D)\ & \dfrac{A}{4} \\
(E)\ & \dfrac{A+2}{4} \\
\end{align}$
Catatan calon guru tentang limit fungsi yang mungkin kita butuhkan adalah:
- $\lim\limits_{x \to c} k=k$
- $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)\pm g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)\pm\lim\limits_{x \to c} g(x)$
- $\lim\limits_{x \to c} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{ \lim\limits_{x \to c} f(x)}$ dimana $\lim\limits_{x \to c} f(x) \gt 0$ bilamana $n$ genap
& \lim\limits_{x \to 1} \left (\dfrac{\sqrt{ax^{4}+b}-2x }{x^{2}+2x-3} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \left (\dfrac{\sqrt{ax^{4}+b}-2x }{(x-1)(x+3)} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \left (\dfrac{\sqrt{ax^{4}+b}-2+2-2x }{(x-1)(x+3)} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \left (\dfrac{\sqrt{ax^{4}+b}-2 }{(x-1)(x+3)}+\dfrac{2-2x }{(x-1)(x+3)} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \left (\dfrac{\sqrt{ax^{4}+b}-2 }{(x-1)} \cdot \dfrac{1}{(x+3)}+\dfrac{2-2x }{(x-1)} \cdot \dfrac{1}{(x+3)} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{ax^{4}+b}-2}{(x-1)} \cdot \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{1} {(x+3)}+\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{2-2x }{(x-1)} \cdot \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{1}{(x+3)} \\
& = A \cdot \dfrac{1} {4}+ \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{-2(x-1) }{(x-1)} \cdot \dfrac{1}{4} \\
& = A \cdot \dfrac{1} {4}+ (-2) \cdot \dfrac{1}{4} \\
& = \dfrac{A}{4}- \dfrac{2}{4} = \dfrac{A-2}{4}
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{A-2}{4}$
26. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Jika $\lim\limits_{x \to 2} \left (\dfrac{\sqrt[3]{ax+b}}{x+1} \right )=2$, maka nilai $\lim\limits_{x \to 2} \left (\dfrac{\sqrt[3]{\dfrac{ax}{8}+\dfrac{b}{8}}-2x+1}{x^{2}+4x+3} \right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{2}{15} \\
(B)\ & -\dfrac{1}{15} \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & \dfrac{1}{15} \\
(E)\ & \dfrac{2}{15} \\
\end{align}$
Catatan calon guru tentang limit fungsi yang mungkin kita butuhkan adalah:
- $\lim\limits_{x \to c} k=k$
- $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)\pm g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)\pm\lim\limits_{x \to c} g(x)$
- $\lim\limits_{x \to c} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{ \lim\limits_{x \to c} f(x)}$ dimana $\lim\limits_{x \to c} f(x) \gt 0$ bilamana $n$ genap
\lim\limits_{x \to 2} \left (\dfrac{\sqrt[3]{ax+b}}{x+1} \right ) &= 2 \\
\dfrac{\sqrt[3]{2a+b}}{2+1} &= 2 \\
\sqrt[3]{2a+b} &= 6
\end{align} $
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \left (\dfrac{\sqrt[3]{\dfrac{ax}{8}+\dfrac{b}{8}}-2x+1}{x^{2}+4x+3} \right ) \\
&= \lim\limits_{x \to 2} \left (\dfrac{\dfrac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{ ax + b }-2x+1}{(x+1)(x+3)} \right ) \\
&= \dfrac{\dfrac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{ 2a + b }-2(2) +1}{(2+1)(2+3)} \\
&= \dfrac{\dfrac{1}{2} \cdot 6-3}{15} \\
&= \dfrac{0}{15}=0
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0$
27. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Jika $\lim\limits_{x \to 2} \left (\dfrac{\sqrt[3]{ax^{3}+b}}{x-1} \right )=A$, maka nilai $\lim\limits_{x \to 2} \left (\dfrac{\sqrt[3]{\dfrac{ax^{3}}{8}+\dfrac{b}{8}}-2x}{x^{2}+2x-2} \right )=\cdots $
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{12}A \\
(B)\ & \dfrac{1}{12}(A-2) \\
(C)\ & \dfrac{1}{12}(A-1) \\
(D)\ & \dfrac{1}{12}(A-6) \\
(E)\ & \dfrac{1}{12}(A-8)
\end{align}$
Catatan calon guru tentang limit fungsi yang mungkin kita butuhkan adalah:
- $\lim\limits_{x \to c} k=k$
- $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)\pm g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)\pm\lim\limits_{x \to c} g(x)$
- $\lim\limits_{x \to c} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{ \lim\limits_{x \to c} f(x)}$ dimana $\lim\limits_{x \to c} f(x) \gt 0$ bilamana $n$ genap
\lim\limits_{x \to 2} \left (\dfrac{\sqrt[3]{ax^{3}+b}}{x-1} \right ) &= A \\
\dfrac{\sqrt[3]{a(2)^{3}+b}}{2-1} &= A \\
\sqrt[3]{8a +b} &= A
\end{align} $
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \left (\dfrac{\sqrt[3]{\dfrac{ax^{3}}{8}+\dfrac{b}{8}}-2x}{x^{2}+2x-2} \right ) \\
&= \lim\limits_{x \to 2} \left (\dfrac{\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{ax^{3}+b}-2x}{x^{2}+2x-2} \right ) \\
&= \dfrac{\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{8a +b}-2(2)}{(2)^{2}+2(2)-2} \\
&= \dfrac{\frac{1}{2} \cdot A-4}{6} \\
&= \dfrac{A-8}{12}
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $\dfrac{1}{12}(A-8)$
Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras- lembar jawaban penilaian harian matematika,
- lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
- presentasi hasil diskusi matematika atau
- pembahasan quiz matematika di kelas.
Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊
Bagaimana Matematika dapat mempengaruhi karakter kita, mari kita simak penjelasannya pada video berikut;
