Pertidaksamaan Eksponensial (Matematika Peminatan Kelas X Kurikulum 2013 Revisi)
Friday, July 21, 2017
Pertidaksamaan eksponensial merupakan pertidaksamaan yang eksponennya memuat variabel.
Dalam menyelesaikan pertidaksamaan eksponen, kita dapat menggunakan sifat-sifat eksponen, ketentuan-ketentuan pada persamaan eksponensial, maupun tinjauan pada grafik fungsi eksponensial.
Sifat-sifat Dasar Pertidaksamaan Eksponensial
Untuk $a > 1$ :
Untuk $a > 1$ :
- Jika $a^{f(x)} > a^{g(x)}$ maka $f(x) > g(x)$
- Jika $a^{f(x)} \geq a^{g(x)}$ maka $f(x) \geq g(x)$
- Jika $a^{f(x)} < a^{g(x)}$ maka $f(x) < g(x)$
- Jika $a^{f(x)} \leq a^{g(x)}$ maka $f(x) \leq g(x)$
Untuk $0 < a < 1$ :
- Jika $a^{f(x)} > a^{g(x)}$ maka $f(x) < g(x)$
- Jika $a^{f(x)} \geq a^{g(x)}$ maka $f(x) \leq g(x)$
- Jika $a^{f(x)} < a^{g(x)}$ maka $f(x) > g(x)$
- Jika $a^{f(x)} \leq a^{g(x)}$ maka $f(x) \geq g(x)$
atau dengan kata lain, jika $0 < a < 1$ maka tanda pertidaksamaan "dibalik"
dan perlu diingat juga, jika pertidaksamaan di kali atau di bagi bilangan negatif, maka tanda pertidaksamaan kita balik, sebagi contoh:
$-x > 5 $, untuk memperoleh interval $x$ maka kedua ruas kita kali $(-1)$ sehingga:
$-x > 5 \Rightarrow x < -5$
perhatikan, tanda pertidaksamaan yang semula $ > $, setelah kita kali $(-1)$ berubah menjadi $<$.
atau agar lebih jelas, logikanya seperti ini:
misal kita punya pertidaksamaan $8 > 2$, jelas sekali pertidaksamaan ini bernilai benar, karena $8$ itu lebih besar dari $2$ , lalu jika kedua ruas kita kali $(-1)$ sehingga $-8 > -2$, apakah pertidaksamaan itu masih bernilai benar?, ya jawabannya salah. nilai $-8$ tidak lebih besar dari $-2$, yang benar adalah $-8 < -2$, jadi sudah jelas, pertidaksamaan jika dikali atau dibagi bilangan negatif maka tanda pertidaksamaan berbalik.
oke, sekarang kita kembali ke pertidaksamaan eksponensial, perhatikan beberapa soal dan pembahasan berikut:
Jawab:
$\begin{align*}3^{2x-3} &\leq \frac{1}{81}\\ 3^{2x-3} &\leq \frac{1}{3^4}\\3^{2x-3}&\leq 3^{-4}\\ \Leftrightarrow 2x-3 &\leq -4 \\2x &\leq -1\\x&\leq -\frac{1}{2}\end{align*}$
Jadi himpunan penyelesaiannya $\left \{ x | x \leq -\frac{1}{2} \right \}$
Jawab:
$\begin{align*}5^{2x}-6.5^{x+1}+125&> 0\\(5^x)^2-6.(x^x)(5)+125&> 0\\(5^x)^2-30(5^x)+125&> 0\\(5^x-25)(5^x-5)&> 0\end{align*}$
$5^x < 5^1$ atau $5^x > 25=5^2$
$x < 1$ atau $x > 2$
Jadi himpunan penyelesaiannya: $\{x | x < 1$ atau $ x > 2, x\in R \}$
Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan $\left(\frac{1}{3}\right)^{2x-4} < \sqrt{\frac{27}{3^{x+1}}}$
Jawab:
$\begin{align*} \left ( \frac{1}{3} \right )^{2x-4}&< \sqrt{\frac{27}{3^{x+1}}}\\ \left ( 3^{-1} \right )^{2x-1}&<\left ( \frac{27}{3^{x+1}} \right )^\frac{1}{2}\\3^{-2x+4}&<\left ( \frac{3^3}{3^{x+1}} \right )^\frac{1}{2}\\3^{-2x+4}&<\left ( 3^{3-(x+1)} \right )^\frac{1}{2}\\3^{-2x+4}&<\left ( 3^{2-x} \right )^\frac{1}{2}\\3^{-2x+4}&< 3^{1-\frac{1}{2}x}\\ \Leftrightarrow -2x+4& < 1-\frac{1}{2}x\\ -\frac{3}{2}x& < -3\\x& > 2\end{align*}$
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\left \{ x | x > 2, x \in R \right \}$
$\blacksquare$ Denih Handayani, juli 2017
dan perlu diingat juga, jika pertidaksamaan di kali atau di bagi bilangan negatif, maka tanda pertidaksamaan kita balik, sebagi contoh:
$-x > 5 $, untuk memperoleh interval $x$ maka kedua ruas kita kali $(-1)$ sehingga:
$-x > 5 \Rightarrow x < -5$
perhatikan, tanda pertidaksamaan yang semula $ > $, setelah kita kali $(-1)$ berubah menjadi $<$.
atau agar lebih jelas, logikanya seperti ini:
misal kita punya pertidaksamaan $8 > 2$, jelas sekali pertidaksamaan ini bernilai benar, karena $8$ itu lebih besar dari $2$ , lalu jika kedua ruas kita kali $(-1)$ sehingga $-8 > -2$, apakah pertidaksamaan itu masih bernilai benar?, ya jawabannya salah. nilai $-8$ tidak lebih besar dari $-2$, yang benar adalah $-8 < -2$, jadi sudah jelas, pertidaksamaan jika dikali atau dibagi bilangan negatif maka tanda pertidaksamaan berbalik.
oke, sekarang kita kembali ke pertidaksamaan eksponensial, perhatikan beberapa soal dan pembahasan berikut:
Contoh 1
Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan $3^{2x-3} \leq \frac{1}{81}$Jawab:
$\begin{align*}3^{2x-3} &\leq \frac{1}{81}\\ 3^{2x-3} &\leq \frac{1}{3^4}\\3^{2x-3}&\leq 3^{-4}\\ \Leftrightarrow 2x-3 &\leq -4 \\2x &\leq -1\\x&\leq -\frac{1}{2}\end{align*}$
Jadi himpunan penyelesaiannya $\left \{ x | x \leq -\frac{1}{2} \right \}$
Contoh 2
Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan $\frac{1}{3^{x-4}} \geq \frac{1}{3\sqrt{3}}$ Jawab:
$\begin{align*}\frac{1}{3^{x-4}} &\geq \frac{1}{3\sqrt{3}}\\ \frac{1}{3^{x-4}} &\geq \frac{1}{3^{1\frac{1}{2}}}\\ \left(\frac{1}{3}\right)^{x-4} &\geq \left(\frac{1}{3}\right)^{1\frac{1}{2}}\end{align*}$
Karena $a=\frac{1}{3}$, yaitu $0 < a < 1$, maka :
$\begin{align*}x-4 &\leq 1\frac{1}{2}\\x&\leq 5\frac{1}{2}\end{align*}$
Contoh 3
Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan $5^{2x}-6.5^{x+1}+125 > 0$Jawab:
$\begin{align*}5^{2x}-6.5^{x+1}+125&> 0\\(5^x)^2-6.(x^x)(5)+125&> 0\\(5^x)^2-30(5^x)+125&> 0\\(5^x-25)(5^x-5)&> 0\end{align*}$
$5^x < 5^1$ atau $5^x > 25=5^2$
$x < 1$ atau $x > 2$
Jadi himpunan penyelesaiannya: $\{x | x < 1$ atau $ x > 2, x\in R \}$
Contoh 4
Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan $\left(\frac{1}{3}\right)^{2x-4} < \sqrt{\frac{27}{3^{x+1}}}$
Jawab:
$\begin{align*} \left ( \frac{1}{3} \right )^{2x-4}&< \sqrt{\frac{27}{3^{x+1}}}\\ \left ( 3^{-1} \right )^{2x-1}&<\left ( \frac{27}{3^{x+1}} \right )^\frac{1}{2}\\3^{-2x+4}&<\left ( \frac{3^3}{3^{x+1}} \right )^\frac{1}{2}\\3^{-2x+4}&<\left ( 3^{3-(x+1)} \right )^\frac{1}{2}\\3^{-2x+4}&<\left ( 3^{2-x} \right )^\frac{1}{2}\\3^{-2x+4}&< 3^{1-\frac{1}{2}x}\\ \Leftrightarrow -2x+4& < 1-\frac{1}{2}x\\ -\frac{3}{2}x& < -3\\x& > 2\end{align*}$
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\left \{ x | x > 2, x \in R \right \}$
$\blacksquare$ Denih Handayani, juli 2017